[0001] Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander
entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B.
Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall
ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt
und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt.
[0002] Komplexe technische Einrichtungen, wie Fahrzeuge aller Art, mit im allgemeinen einer
Vielzahl von Komponenten, werden in der Regel nach Ausfall der einen oder anderen
Komponente durch Reparatur oder Austausch wieder in Stand gesetzt. Für eine langfristige
Ersatzkomponentenplanung ist es wesentlich, die Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente
möglichst zuverlässig zu bestimmen, da deren Integration über die Betriebszeit unter
Berücksichtigung des Bestands den Ersatzbedarf an der jeweiligen Komponente angibt.
Die Ausfallsraten der einzelnen Komponenten sind herstellerseitig häufig unbekannt,
zumal dann, wenn für den jeweiligen Einsatzzweck in der technischen Einrichtung eigens
konstruierte Komponenten eingesetzt werden. Von einzelnen Bestandteilen der Komponenten
mögen zwar Ausfallsraten bekannt sein - ein zuverlässiger Schluß auf die Ausfallsrate
der Komponente selbst läßt sich bei einer entsprechenden Vielzahl von Einzelteilen
in der Regel jedoch nicht durchführen.
[0003] Aus der fraglichen Komponenten läßt sich unmittelbar oder über die kumulierte Lebensdauerverteilung
F(t) die Ausfallsrate λ(t) berechnen. Die Lebensdauerverteilung der jeweiligen Komponente
wird daher laufend während des Einsatzes der technischen Einrichtungen ermittelt,
um hieraus die Ausfallsrate für eine Prognose zukünftigen Bedarfs an dieser Komponente
zu berechnen. Hierbei geht man so vor, daß man bei jedem Ausfall der technischen Einrichtung
aufgrund einer defekten Komponente bzw. bei jedem Austausch einer defekten Komponente
anläßlich einer Wartung der Einrichtung, den Austausch dieser Komponente registriert
und dabei auch notiert, um den wievielten Austausch es sich bei dieser Komponente
innerhalb dieser technischen Einrichtung handelt.
[0004] Aus diesen so gewonnenen Daten läßt sich unmittelbar die Ausfallsrate λ(t) aus dem
Quotienten der Anzahl der ausgefallenen Komponenten und des betreffenden Beobachtungszeitraums
bestimmen. In dieser direkt berechneten Ausfallsrate ist allerdings das durch statistische
Schwankungen bedingte Systemrauschen der Lebensdauern der einzelnen Komponenten nicht
berücksichtigt. Eine zuverlässige Ausfallsprognose auf der Basis einer direkt aus
den gewonnenen Daten berechneten Ausfallsrate λ(t) ist somit nicht möglich.
[0005] Um ein das Systemrauschen berücksichtigendes und damit schärferes, für Prognosen
geeigneteres Ergebnis für die Ausfallsrate λ(t) zu erhalten, ermittelt man aus den
gewonnenen Daten Lebensdauerverteilungen f(t), wobei im folgenden die Lebensdauerverteilung
der im Wartungszeitraum zum ersten Mal ausgefallenen Komponenten mit f
1(t) bezeichnet ist und die Lebensdauerverteilung der zum zweiten Mal ausfallenden
Komponenten f
2(t) usw. Aus den so ermittelten Lebensdauerverteilungen läßt sich dann im Prinzip
die Ausfallsrate λ(t) bestimmen, beispielsweise indem man die Laplace-Transformierten
der Lebensdauerverteilungen aufsummiert und die Summe rücktransformiert (siehe z.
B. Cox, D.R.; Miller, H.: The Theory of Stochastic Processes, Methun & Co. LTD, London).
[0006] Aus der klassischen Erneuerungstheorie läßt sich eine einfache Beziehung für die
Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) ableiten und zwar als Quotient der Laplace-Transformierten
f
1(s) der ersten Lebensdauerverteilung f
1(t) geteilt durch die Differenz von 1 und der Laplace-Transformierten f(s) einer der
weiteren Lebensdauerverteilungen f(t). Vorausgesetzt ist hier jedoch, daß die weiteren
Lebensdauerverteilungen alle gleich sind. Vorausgesetzt ist weiterhin, daß sich auch
der Bestand an den technischen Einrichtungen nicht ändert. Diese Voraussetzungen sind
jedoch häufig nicht erfüllt.
[0007] So ändert sich beispielsweise der Bestand an Kampfflugzeugen im Laufe der Zeit nach
vorgegebenen Ausmusterungsplänen. Hinzu kommen können weitere Bestandsreduzierungen,
z. B. aufgrund von Unfällen oder nicht mehr lohnender Reparatur.
[0008] Der Erfindung liegt die Überlegung zugrunde, daß z. B. eine Reduzierung des Bestandes
zu weniger Ausfällen führt, d. h. zu geänderten Lebensdauerverteilungen. Legt man
diese Lebensdauerverteilungen dann der Berechnung der Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen
Komponente zugrunde, so ergeben sich in der Regel zu geringe Werte für die Ausfallrate
λ(t); eine höhere Zuverlässigkeit der jeweiligen Komponente wird vorgetäuscht. Eine
Bedarfsprognose für die Komponente auf der Grundlage der so ermittelten Ausfallsrate
λ(t) liefert daher falsche Ergebnisse.
[0009] Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Art
anzugeben, welches einen sich zeitlich ändernden Gesamtbestand an den technischen
Einrichtungen berücksichtigt.
[0010] Diese Aufgabe wird dadurch gelöst, daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen
oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die
Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung
der Bestandsfunktion G(t) korrigiert. Wie bereits angesprochen, ergibt sich die Ausfallsrate
λ(t) aus der gemessenen Lebensdauerverteilung f(t), und zwar, entsprechend dem jeweils
gewählten mathematischen Formalismus, unmittelbar aus der Lebensdauerverteilung f(t)
oder aus der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t). Die erfindungsgemäße Korrektur
zur Berücksichtigung der Bestandsfunktion G(t) kann bei der Lebensdauerverteilung
f(t) oder der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) vorgenommen werden.
[0011] Die Korrektur der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) wird bevorzugt dadurch vorgenommen,
daß man die korrigierte kumulierte Lebensdauerverteilung F
0(t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall
t-1 bis t eine Ausfallszahl A(t) als Anzahl der im momentanen sowie in sämtlichen
vorangegangenen Zeitintervallen ausgefallenen Komponenten feststellt, daß man jeweils
die in den vorangegangenen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Bestandsfunktion
G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb
gesetzten Komponenten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw.
zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall
kumulierten und bereits bestimmten Lebensdauerverteilung F(i) abhängt, und die so
ermittelten Produkte für sämtliche vorangegangenen Zeitintervalle (i = 1 bis t - 1)
addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors B(t) bzw. C(t), und
daß man als kumulierte Lebensdauerverteilung F
0(t) den Quotienten aus der Differenz von Ausfallszahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor
B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß
folgende Beziehung gilt:
[0012] Hierbei wird vorgeschlagen, daß der erste Term β(i) der Quotient aus der bis zum
jeweiligen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz
von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der
Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist,
das heißt
[0013] Hierdurch läßt sich auf einfache Weise der Einfluß der sich ändernden Bestandsfunktion
G(t) auf die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) berücksichtigen. Durch zeitliche
Differentiation der korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilung F
0(t) läßt sich die korrigierte Lebensdauerverteilung f
0(t) bestimmen. Daraus erhält man die Ausfallsrate λ(t) durch beispielsweise numerisches
Lösen der folgenden Integralgleichung:
wobei u die Integrationsvariable, f
1(t) die erste Lebensdauerverteilung und f(u) (bzw. f(t)) die zweite, dritte, usw.
Lebensdauerverteilung ist.
[0014] Die klassische Erneuerungstheorie setzt, wie bereits angesprochen, voraus, daß sich
die Lebensdauerverteilungen einer Komponente, also die erste, die zweite usw. Lebensdauerverteilung,
nicht voneinander unterscheiden. Diese Voraussetzung ist in vielen praktischen Fällen
jedoch nicht erfüllt. Eine mögliche Ursache hierfür ist, daß die jeweils ausgefallene
Komponente nicht durch eine fabrikneue Komponente ersetzt wird, sondern durch eine
überholte Komponente, wie z. B. Austauschmotor. Eine derartige überholte Komponente
weist also eine Vielzahl nicht überholter, d. h. älterer Komponententeile auf, sowie
eine oder mehrere neue Komponententeile. Aufgrund des Anteils an älteren Komponententeilen
wird die mittlere Lebensdauer dieser Austauschkomponenten im allgemeinen geringer
sein als die einer fabrikneuen Komponente. Es ist jedoch auch denkbar, daß die Lebensdauer
einer Austauschkomponente größer ist als die einer fabrikneuen, z. B. deshalb, weil
in der Austauschkomponente ein weniger störanfälliges Komponententeil eingesetzt worden
ist als in der fabrikneuen Komponente.
[0015] Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung, der vom vorstehenden Aspekt Berücksichtigung
der Bestandsfunktion an sich unabhängig ist, jedoch bevorzugt in Verbindung mit diesem
realisierbar ist, befaßt sich die Erfindung mit einem Verfahren zum Abschätzen der
Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen
Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Ersetzen
der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Austausch und wenigstens nach einem
zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden
Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung
f
1(t), f
2(t) der Komponenten bestimmt.
[0016] Zur Berücksichtigung sich ändernder Lebensdauerverteilungen wird vorgeschlagen, daß
man die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert
wobei f
1(s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauerverteilung, µ
j das erste Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f
j(t), σ
j das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f
j(t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch Laplace-Rücktransformation
berechnet.
[0017] Somit läßt sich zumindest für vergleichsweise große Betriebszeiten (d. h. im allgemeinen
t ≥ µ) die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) als einfache Summe über die Laplace-Variable
s sowie die ersten und zweiten Momente der Lebensdauerverteilungen enthaltende Terme
weitgehend exakt berechnen und daraus die Ausfallsrate λ(t) selbst durch Laplace-Rücktransformation
bestimmen.
[0018] Für den Fall, daß die Differenz Δµ der ersten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen
sowie die Differenz Δσ
2 der Quadrate der zweiten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen im
wesentlichen konstant ist (d. h. die ersten Momente µ
j und die Quadrate der zweiten Momente σ
j der Lebensdauerverteilungen ändern sich angenähert linear mit der Zeit), läßt sich
die Ausfallsrate λ(t) unmittelbar in einfacher Weise dadurch berechnen, daß man die
Ausfallsrate λ(t) nach folgender Beziehung annähert:
wobei µ
1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f
1(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung
f
2(t), Δµ die Differenz der ersten Momente µ
2 und µ
3 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen
f
2(t) und f
3(t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f
2(t) und Δσ
2 die Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente σ
2 und σ
3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f
2(t) und f
3(t) bedeuten.
[0019] Die Erfindung wird im folgenden an bevorzugten Ausführungsbeispielen anhand der Zeichnungen
erläutert. Es zeigt:
- Fig. 1
- schematisch einen Bestand an technischen Einrichtungen in Form von Fahrzeugen mit
einer Vielzahl von Komponenten;
- Fig. 2
- in ihrem mit a bezeichneten oberen Teil eine kumulierte Ausmusterungskurve Fend(t) und eine Bestandskurve G(t) aufgetragen über die Zeit, und in ihrem mit b bezeichneten
unteren Teil Ausfälle einer bestimmten gleichen Komponente S in den technischen Einrichtungen
a bis f aufgetragen über die Zeit unter Berücksichtigung der Bestandskurve G(t) aus
Fig. 2a;
- Fig. 3
- ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f1(t) bis zum ersten Ausfall der Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis
f entsprechend dem Ausfallsverhalten gemäß Fig. 2b sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung
F1(t) aufgetragen über die Zeit;
- Fig. 4
- ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f2(t) bis zum zweiten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F2(t) über die Zeit;
- Fig. 5
- ein Histogramm unter anderem der Lebensdauerverteilung f3(t) bis zum dritten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F3(t) über die Zeit;
- Fig. 6
- Graphen einer Lebensdauerverteilung fi(t) und ihr erstes Moment µi sowie einer den auf diese unmittelbar folgenden Erneuerungsprozeß charakterisierenden,
von dieser verschiedenen Lebensdauerverteilung fi+1(t) und ihr erstes Moment µi+1; und
- Fig. 7
- Graphen einer Ausfallsrate λΔµ=0(t) bei konstanten Lebensdauerverteilungen
(durchgezogene Linie) sowie einer Ausfallsrate λΔµ≠0(t) bei nicht konstanten Lebensdauerverteilungen
(gepunktete Linie) sowie einer Asymptote λA(t) (strichpunktierte Linie).
[0020] In Fig. 1 ist schematisch ein Bestand an technischen Einrichtungen in Form von sechs
Fahrzeugen a bis f dargestellt, die sich aus einer Vielzahl von schematisch dargestellten
Komponenten 12, 14, 16, 18 zusammensetzen, wie z. B. einem Motor, einer Bremsanlage,
einer Batterie, einer Lenkung oder dergleichen. Jedes Fahrzeug des Bestandes ist gleich
aufgebaut und setzt sich somit jeweils aus den gleichen Komponenten wie die übrigen
Fahrzeuge des Bestandes zusammen. Die einzelnen Komponenten sind wiederum aus Komponententeilen
zusammengesetzt, welche bei einem Ausfall einer der Komponenten 12, 14, 16, 18 zur
Reparatur derselben einzeln ausgetauscht werden können.
[0021] Die Fahrzeuge a bis f des Bestandes werden bezüglich ihres Ausfallsverhaltens, d.
h. im Hinblick auf auftretende Ausfälle einzelner Komponenten und Reparaturen bzw.
Neueinbau derselben, überwacht und aufgetretene Ausfälle werden dokumentiert.
[0022] Die so gewonnenen Ausfalldaten können dann mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens
ausgewertet werden.
[0023] Bei dieser Auswertung kann eine in Fig. 2a dargestellte Bestandsfunktion G(t) berücksichtigt
werden. Diese Bestandsfunktion G(t) gibt den Gestambestand an Fahrzeugen (d. h. die
Anzahl der im Betrieb befindlichen Fahrzeuge) bezogen auf den Anfangsbestand in Abhängigkeit
von der Betriebszeit t der Fahrzeuge an. Der Verlauf der Bestandsfunktion G(t) kann
einerseits dadurch bestimmt werden, daß Fahrzeuge aufgrund einer vorgegebenen Ausmusterungskurve
außer Betrieb gesetzt werden und somit eine weitere Beobachtung des Ausfallsverhaltens
der Komponenten bei einem derartigen Fahrzeug nicht mehr möglich ist, oder daß andererseits
das Fahrzeug durch einen Unfall oder dergleichen ausfällt und nicht mehr repariert
wird. Auch in diesem zweiten Fall bricht die Beobachtung der einzelnen Systemkomponenten
ab.
[0024] Fig. 2a zeigt ferner die kumulierte Lebensdauerverteilung F
end(t) der Fahrzeuge, welche die Anzahl der außer Betrieb gesetzten Fahrzeuge bezogen
auf die anfangs in Betrieb genommenen Fahrzeuge a bis f angibt und welche gemäß folgender
Beziehung mit der Bestandsfunktion G(t) zusammenhängt:
[0025] In Fig. 2b sind die gesammelten Ausfallsdaten einer jeweils gleichen Komponente S
(beispielsweise eines Motors) in den Fahrzeugen a bis f jeweils auf einer Zeitachse
graphisch dargestellt. Betrachtet man beispielsweise die Komponente S
a des Fahrzeugs a, so ist zu erkennen, daß ein erster Ausfall a
1 der Komponente S
a nach einer Zeit t
a1 ab dem Beobachtungsstartzeitpunkt (t = 0) stattgefunden hat. Nach diesem Ausfall
wurde die Komponente S
a gegen eine fabrikneue oder überholte Komponente ausgetauscht und das Fahrzeug a wurde
erneut in Betrieb genommen. Nach einem weiteren Zeitraum t
a2 trat dann im Fahrzeug a ein zweiter Ausfall der Komponente S auf, wie durch den Punkt
a
2 angedeutet. Daraufhin wurde die Komponente erneut gegen eine fabrikneue bzw. überholte
Komponente S ausgetauscht und das Fahrzeug wieder in Betrieb genommen. Nach einem
weiteren Zeitraum t
a3 nach der erneuten Inbetriebnahme fiel die Komponente S im Fahrzeug a ein drittes
Mal aus, wie durch den Punkt a
3 angedeutet. Zu diesem Zeitpunkt wurde das Fahrzeug a schließlich stillgelegt.
[0026] Nach dem gleichen Prinzip sind jeweils die Ausfalldaten der Komponente S in den Fahrzeugen
b bis f dargestellt, wobei besonderes Augenmerk auf die Komponenten S
c und S
d der Fahrzeuge c, d zu richten ist. Bei beiden Fahrzeugen endet der letzte Beobachtungszeitraum
t
c3' und t
d3' nicht mit einem Ausfall der Komponente S
c bzw. S
d. Die beobachtete Komponente S
c bzw. S
d ist am Ende der Beobachtung (Stillegung bei Fahrzeug d, Beobachtungszeitraumende
B
E bei Fahrzeug c) noch funktionstüchtig, d. h. nicht ausgefallen, und darf somit bei
der Abschätzung einer Ausfallsrate λ(t) nicht ohne entsprechende Korrektur (siehe
unten) als Komponentenausfall behandelt werden, da dies das Ergebnis verfälschen würde.
[0027] Über strichlierte Linien 20 ist ein direkter Zusammenhang zwischen Fig. 2a und 2b
dargestellt. Beispielsweise werden zum Zeitpunkt t = 7 die Fahrzeuge b und d außer
Betrieb genommen, so daß die Bestandskurve entsprechend fällt. Zum Zeitpunkt t = 8
wird das Fahrzeug f stillgelegt, so daß die Bestandskurve weiter fällt, usw.
[0028] Die in Fig. 2b zur Veranschaulichung dargestellten Ausfallsdaten der Komponente S
der Fahrzeuge a bis f können nun zur Bestimmung der Lebensdauerverteilungen f
i(t) für den i-ten Ausfall der Komponente S verwendet werden, wie in den Fig. 3 bis
5 für die ersten, zweiten und dritten Ausfälle der Komponente dargestellt.
[0029] In Fig. 3 sind die ersten Ausfälle (Index 1) der Komponente S in den Fahrzeugen a
bis f als Histogramm aufgetragen, welches die Lebensdauerverteilung f
1(t) bildet. Jeder Ausfall ist mit einem Punkt markiert und das zugehörige Zeitintervall
vom Beobachtungsstart bis zum Ausfall unter Verwendung eines Bemaßungspfeils angegeben
(in Fig. 3 oben). Die jeweils pro Zeitschritt der t-Achse aufgetretenen Ausfälle werden
aufsummiert; die Summe ergibt die Stufenhöhe. Beispielsweise fallen im Zeitraum zwischen
t = 1 und t = 2 die Systemkomponenten S
f und S
d zum ersten Mal seit dem Beobachtungsstart (t = 0) aus, so daß das Histogramm für
dieses Zeitintervall eine Ausfallszahl A
1 (= Stufenhöhe) von 2 angibt. Auf ein Ende eines Zeitschritts fallende Ausfälle werden
diesem Zeitschritt zugeordnet. Der Ausfall d
1 ist also der zweite Ausfall in dem Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2. Die Lebensdauerverteilung
f
1(t) gibt somit die stochastische Verteilung der Lebensdauern der Komponenten S
a bis S
f für den ersten Ausfall seit Beobachtungsstart (t = 0) wieder.
[0030] Bei der bebensdauerverteilung f
1(t) bis zum ersten Ausfall kann der Fall eintreten, daß der Beobachtungsstart nicht
mit dem Zeitpunkt der ersten Inbetriebnahme der Komponente S zusammenfällt. So haben
selbst "fabrikneu" angelieferte Fahrzeuge bereits eine gewisse Betriebszeit (z. B.
Probelaufzeit) hinter sich. Die erhaltene Lebensdauerverteilung f
1(t) hat somit nicht den Verlauf der an sich gewünschten Lebensdauerverteilung mit
Beobachtungsstart ab erster Inbetriebnahme. Um die in f
1(t) enthaltene Information nicht zu verlieren und eine frühzeitige Prognose für den
Komponentenbedarf zu ermöglichen, wird im nachfolgend beschriebenen Verfahren die
Lebensdauerverteilung f
1(t) mit berücksichtigt.
[0031] Die gemessene Lebensdauerverteilung f
2(t) ab dem ersten Ausfall bis zum zweiten Ausfall der Komponenten S
a bis S
f (siehe Fig. 4) ist also die erste vollständige Lebensdauerverteilung.
[0032] Fig. 3 zeigt zusätzlich zu f
1(t) noch eine kumulierte Lebensdauerverteilung F
1(t) bis zum ersten Ausfall. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit, daß eine Komponente
S der Fahrzeuge a bis f bis zum Zeitpunkt t ausfällt.
[0033] Allgemein gilt zwischen der i-ten Lebensdauerverteilung f
i(t) und der zugehörigen i-ten kumulierten Lebensdauerverteilung F
i(t) der Zusammenhang:
[0034] Fig. 4 zeigt einen Graph entsprechend Fig. 3 für die Ausfälle a
2 bis f
2, d. h. jeweils für den zweiten Ausfall der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f
jeweils seit Wiederinbetriebnahme des Fahrzeugs nach dem ersten Ausfall der Komponente
S. Die jeweiligen Lebensdauern t
a2 bis t
f2 sind also die Betriebszeiten der jeweiligen Fahrzeuge a bis f ab der Wiederinbetriebnahme
nach dem ersten Ausfall der Komponente S bis zum zweiten Ausfall der Komponente S.
Entsprechend Fig. 3 ist die Lebensdauerverteilung f
2(t) bis zum zweiten Ausfall und eine gemäß Gleichung (2) gewonnene, kumulierte Lebensdauerverteilung
F
2(t) über die Zeit aufgetragen. Es ist anzumerken, daß gemäß Fig. 2a und 2b alle Fahrzeuge
a bis f bis zum zweiten Ausfall der Komponente S in Betrieb sind, d. h. daß die Komponente
S in jedem Fahrzeug zweimal ausgefallen ist, bevor eines der Fahrzeuge a bis f stillgelegt
wurde.
[0035] Fig. 5 zeigt eine Lebensdauerverteilung f
3(t) (strichlierte Linie) und eine daraus gewonnene kumulierte Lebensdauerverteilung
F
3(t) (Strich-Doppelpunkt-Linie) für die Ausfälle der Komponente S in den Fahrzeugen
a, b und f. Es ist zu erkennen, daß die Komponenten S der Fahrzeuge c, d und e nicht
zur Lebensdauerverteilung f
3(t) und der kumulierten Lebensdauerverteilung F
3(t) beitragen, da in diesen Fahrzeugen die Komponente S kein drittes Mal ausfällt.
Fahrzeug c ist nach dem zweiten Ausfall der Komponente S und der entsprechenden Reparatur
über den Beobachtungszeitraum hinaus ohne weiteren Ausfall der Komponente S in Betrieb.
Fahrzeug d wird mit intakter Komponente S im Beobachtungszeitraum stillgelegt. Fahrzeug
d wird unmittelbar nach dem zweiten Ausfall der Komponente S stillgelegt
[0036] Da bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung f
3(t) bzw. der daraus gewonnenen kumulierten Lebensdauerverteilung F
3(t) nur die im Beobachtungszeitraum im betreffenden Fahrzeug zum dritten Mal ausgefallenen
Komponenten (S
a, S
b, S
f) berücksichtigt sind, jedoch die mit den betreffenden Fahrzeugen stillgelegten Komponenten
(S
c, S
d, S
e) für diese Lebensdauerverteilungen außer Acht gelassen werden, liegt die erhaltene
kumulierte Lebensdauerverteilung F
3(t) unterhalb einer tatsächlichen Lebensdauerverteilung F
30(t). Unter der tatsächlichen Lebensdauerverteilung F
0(t) soll hier diejenige Lebensdauerverteilung verstanden werden, die man bei über
den Beobachtungszeitraum unverändertem Bestand an Einrichtungen erhält. Die kumulierte
Lebensdauerverteilung F
3(t) bildet, da sie nur die bei abnehmendem Bestand stattgefundenen Ausfälle berücksichtigt,
den unteren Grenzwert für die tatsächliche Lebensdauerverteilung F
30(t). Eine Bestimmung der Ausfallsrate λ(t) auf der Basis der kumulierten Lebensdauerverteilung
F
3(t) würde eine zu geringe Ausfallsrate λ(t) ergeben, da die zu erwartenden Ausfälle
bei den stillgelegten Komponenten nicht berücksichtigt werden.
[0037] Eine obere Grenze für die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung F
30(t) erhält man dann, wenn die im Beobachtungszeitraum nicht ausgefallenen, jedoch
stillgelegten Komponenten (S
c, S
d, S
e) bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung jeweils so berücksichtigt werden, als
wären sie zum Zeitpunkt ihrer Stillegung gemäß der Ausmusterungskurve f
end(t) bzw. zum Ende des Beobachtungszeitraums B
E ausgefallen (mit Kreuzen markierte Punkte). Die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung
F
30(t) verläuft also zwischen der unteren Grenze F
3(t) und der oberen Grenze F
3'(t), wie in Fig. 5 beispielhaft angedeutet.
[0038] Sie kann mit Hilfe der folgenden Schätzformel bestimmt werden:
wobei
[0039] Dabei ist A(t) die Anzahl aller bis zum Zeitpunkt t ausgefallenen Komponenten.
[0040] B(t) ist ein erster Korrekturfaktor, in den die ermittelte Anzahl b(i) der im Zeitintervall
i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein erster Term β(i) eingeht. C(t) ist ein
zweiter Korrekturfaktor, in den ebenfalls die Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer
Betrieb gesetzten Komponenten und ein zweiter Term γ(i) eingeht. Für β(i) und γ(i)
gelten folgende Beziehungen:
[0041] Insgesamt gilt somit:
[0042] Für die Berechnung von f
0(t) aus F
0(t) gilt der oben genannte Zusammenhang (Gleichung 2) zwischen f
i(t) und F
i(t).
[0043] Vergleicht man die ermittelten Lebensdauerverteilungen (ggf. korrigierte Lebensdauerverteilungen)
der einzelnen Ausfälle miteinander, so können prinzipiell zwei Fälle eintreten.
[0044] Im ersten Fall haben die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente mit
steigender Betriebszeit der technischen Einrichtung im wesentlichen den gleichen Verlauf,
d. h. sie sind invariant. Greift man in diesem Zusammenhang wieder das anfangs angesprochene
Beispiel der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f auf, so läßt sich dieser Fall
dadurch erklären, daß die Komponente S, beispielsweise ein Motor, nach einem Ausfall
jeweils durch eine fabrikneue Komponente S, also durch einen fabrikneuen Motor, ersetzt
wird. Es ist zu erwarten, daß in diesem Fall die mittlere Lebensdauer der neuen Komponente
S derjenigen der ausgefallenen Komponente S entspricht. Für diesen ersten Fall der
invarianten Lebensdauerverteilungen läßt sich eine Ausfallsrate λ(t) für die beobachtete
Komponente, z. B. S, in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. in den
Fahrzeugen a bis f, unter Berücksichtigung der fallenden Bestandsfunktion G(t) bestimmen.
Zwischen der Ausfallsrate λ(t) und den durch Differentiation der ermittelten korrigierten
kumulierten Lebensdauerverteilungen F
i0(t) nach der Zeit gewonnenen korrigierten Lebensdauerverteilungen f
10(t), f
20(t), usw., allgemein f
i0(t), besteht folgender Zusammenhang:
wobei u die Integrationsvariable ist und f
20(t)=f
30(t)=...f
i0(t) und i ≥ 2.
[0045] Somit lassen sich also für eine Vielzahl beobachteter Komponenten auf der Grundlage
erfaßter Ausfallsdaten unter Berücksichtigung der Bestandsfunktion, beispielsweise
durch numerisches Lösen der Gleichung 9, deren in Zukunft erwarteten Ausfallsraten
λ(t) abschätzen. Durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit läßt sich gemäß
folgender Beziehung
eine Zahl M(t) von für einen Zeitraum
zu erwartenden Ausfällen berechnen, die als Grundlage für die Bestimmung zukünftig
benötigter Ersatzteile dienen kann.
[0046] Im zweiten Fall ändern sich die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente
S mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtungen. Derartige Variante Lebensdauerverteilungen
können dann auftreten, wenn beispielsweise die beobachtete Komponente S nach einem
Ausfall nicht durch eine fabrikneue gleiche Komponente ersetzt wird, sondern lediglich
ein oder mehrere defekte Komponententeile ausgetauscht werden und die somit mit den
Austauschteilen überholte Komponente S wieder in Betrieb genommen wird. Dies bedeutet,
daß sich die Komponente S aus fabrikneuen Komponententeilen und bereits gebrauchten
Komponententeilen zusammensetzt. Eine derartige überholte Komponente S weist oftmals
eine von einer fabrikneuen Komponente stark abweichende Lebensdauerverteilung auf.
[0047] Für das Beispiel des Motors bedeutet dies, daß der ausgefallene Motor durch einen
überholten Austauschmotor ersetzt wird, der schon eine gewisse Betriebszeit hinter
sich hat und der nach einem Ausfall durch Ersetzen des ausgefallenen Bauteils repariert
wurde. Es ist in diesem Fall zu erwarten, daß der überholte Austauschmotor eine andere
mittlere Lebensdauer als der fabrikneue Motor hat.
[0048] Mit steigender Anzahl der Ausfälle kann beispielsweise ein Absinken der mittleren
Lebensdauer der Komponente eintreten, da die Komponententeile "altern", d. h. daß
mit zunehmender Betriebszeit die Anzahl der fabrikneuen Komponententeile absinkt.
Die mittlere Lebensdauer der Komponenten kann jedoch auch mit der Zeit zunehmen, falls
störanfällige Komponententeile nach ihrem Ausfall nach und nach durch robustere Komponententeile
ersetzt werden. Ein derartiges Steigen der mittleren Lebensdauer und somit eine Veränderung
zweier aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen f
i(t) und f
i+1(t) ist in Fig. 6 dargestellt. Zur Verdeutlichung der Veränderung der beiden aufeinanderfolgenden
Lebensdauerverteilungen sind die ersten Momente µ
i und µ
i+1 der beiden dargestellten Verteilungen auf der t-Achse eingetragen. Ferner ist die
Differenz Δµ zwischen den beiden Momenten µ
i und µ
i+1 mit Hilfe eines Bemaßungspfeils dargestellt. Auch sind die zweiten Momente σ
i und σ
i+1 näherungsweise eingetragen.
[0049] Um den durch den Einsatz überholter Komponenten verursachten Effekt von sich ändernden
Lebensdauerverteilungen bei der Abschätzung der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) zu
berücksichtigen, wird die, wie oben erläutert, durch den Beobachtungsstartzeitpunkt
möglicherweise verfälschte, erste Lebensdauerverteilung f
1(t), d. h. die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum ersten Ausfall,
und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung, vorzugsweise die Lebensdauerverteilung
der beobachteten Komponente bis zum zweiten Ausfall f
2(t), bestimmt. Anschließend wird die erste Lebensdauerverteilung f
1(t) in den Laplace-Raum transformiert, so daß man diese in Abhängigkeit von der Laplace-Variablen
s erhält. Ferner bestimmt man jeweils das erste Moment und das zweite Moment der vorhandenen
Lebensdauerverteilung f
2(t) und ggf. weiterer Lebensdauerverteilungen f
3(t), usw. Mit den so bestimmten Größen läßt sich allgemein die Ausfallsrate λ(s) im
Laplace-Raum für große t (d. h. im allgemeinen t ≥ µ
j) nach folgender Beziehung annähern:
wobei j den Index der jeweiligen Lebensdauerverteilung bezeichnet. Durch Laplace-Rücktransformation
erhält man die Ausfallsrate λ(t).
[0050] Fig. 7 zeigt den Verlauf einer Ausfallsrate λ
Δµ=O(t) bei invarianten, d. h. konstanten Lebensdauerverteilungen. Insbesondere bei großen
Zeiten zeigt sich, daß sich diese Ausfallsrate asymptotisch einem Grenzwert nähert,
der in diesem Beispiel etwa bei 0,75 liegt, und der mit einer strichlierten Geraden
angedeutet ist, für welche die folgende Beziehung gilt:
[0051] Ferner zeigt Fig. 7 den Verlauf einer weiteren Ausfallsrate λ
Δµ ≠0(t), welche typisch für die in Fig. 7 dargestellten varianten Lebensdauerverteilungen
f
i(t) und f
i+1(t) ist. Es ist zu erkennen, daß die Funktion für große Zeiten (t > 5) einen angenähert
linearen Verlauf annimmt. Unter der Annahme, daß sich die ersten Momente µ und die
Quadrate der zweiten Momente σ der sich ändernden Lebensdauerverteilungen linear mit
dem Index i der Lebensdauerverteilungen f
i0(t) ändern, d. h.
läßt sich diese durch die strichpunktierte Gerade λ
A(t) annähern. Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
wobei µ
1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f
1(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung
f
2(t), Δµ die (konstante) Differenz der ersten Momente µ
i und µ
i+1 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen
f
2(t) und f
3(t), σ das zweite Moment der weiteren, vorzugsweise zweiten Lebensdauerverteilung
f
2(t) und Δσ
2 die (konstante) Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente, vorzugsweise σ
2 und σ
3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f
2(t) und f
3(t) bedeuten.
[0052] Durch diese Näherungsformel kann also die Ausfallsrate λ(t) für große Zeiten auf
einfache Weise bestimmt werden.
[0053] Generell kann durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit gemäß dem oben
erwähnten Zusammenhang (Gleichung 10) die in dem vorgesehenen Zeitintervall
zu erwartende Anzahl von Ausfällen M(Δt) bestimmt werden. Dies ist in Fig. 7 mit
einer trapezförmigen Fläche M(t) angedeutet, welche die Anzahl der Ausfälle zwischen
den Zeitpunkten t
1=5 und t
2=11 angibt.
[0054] Mit einer Prognose auf der Grundlage der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) für die
interessierende Komponente in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B.
einem Fuhrpark oder einer Militärflugzeugstaffel, läßt sich die Lagerhaltung für nötige
Ersatzteile optimieren, d. h. Lagerfehlbestände oder Lagerüberbestände bei ausreichend
großem Bestand nahezu ausschließen.