Mosaikelementsatz

Abstract

 Ein Mosaikelementsatz, der für die Verwendung als Spiel, als Pflaster, Parkett, Fliesenmuster, Tapetenmuster, ornamentales Muster od. dgl. ausgebildet sein kann, besteht aus voneinander paarweise verschiedenen polygonförmigen Mosaikelementen und kann zum Ausfüllen einer Fläche, die durch ein reguläres Vieleck mit gerader Seitenzahl begrenzt ist, oder zur Ausfüllung der euklidschen Ebene verwendet werden. Die Mosaikelemente (1 bis 16) lassen sich dadurch konstruieren, daß man das reguläre Vieleck in eine Menge von Rhomben (1 bis 16b) unterteilt, die mehrere Teilmengen aus unter sich gleichen, jedoch von Teilmenge zu Teilmenge verschieden geformten Rhomben enthält. Eine erste Gruppe von Mosaiksteinen (1 bis 4) erhält die Form der unter sich verschiedenen Rhombentypen, und die Verbleibenden Rhomben (5a bis 16b) werden paarweise so zusammengesetzt, daß sich unterschiedliche Mosaikelemente (5 bis 16) ergeben, wobei jedoch die Seiten der beiden Rhomben an den Stellen, wo sie sich treffen, nicht kollinear sein dürfen.

Beschreibung

[0001] Die vorliegende Erfindung betrifft einen Mosaikelementsatz aus voneinander verschiedenen, polygonförmigen Mosaikelementen zum Ausfüllen einer Fläche, die durch ein reguläres Vieleck mit gerader Seitenzahl 2n begrenzt ist_/und zum Bilden einer Grundform zum Ausfüllen der euklidischen Ebene, wobei n eine natürliche Zahl bedeutet, das reguläre Vieleck in eine Menge von (n-1)n/2 Rhomben zerlegbar ist und die Menge der Rhomben aus einer Anzahl echter Teilmengen besteht, welche jeweils Rhomben unter sich gleicher , jedoch von Teilmenge zu Teilmenge verschiedener Form enthalten.

[0002] Mosaikelementsätze aus Mosaikelementen oder "Mosaiksteinen" sind für die verschiedensten Zwecke verwendbar, z.B. für Straßen- öder Fußbodenpflaster, Wand- oder Bodenfliesen, ferner für Spiele und für Anschauungs- oder Lernzwecke. Die Mosaikelemente können daher in der Praxis aus den verschiedensten Werkstoffen bestehen.

[0003] Auf dem Gebiet der Spiele ist der wohl bekannteste Typ von Mosaikelementsatz das als Puzzle bekannte Zusammensetzspiel, bei dem eine Fläche sehr einfacher Form, z.B. ein Rechteck oder Kreis, mit einer Vielzahl von kleinen Pappestücken mit unregelmässigen und meistens verschiedenen Formen ausgelegt wird. Eine wesentliche Eigenart eines solchen Puzzles besteht darin, daß es nur auf eine einzige Weise zusammengesetzt werden kann.

[0004] Neuere Zusammensetzspiele enthalten gleichartige Stücke, mit denen eine Vielzahl von Formen gebildet werden kann, z.B. die sogenannten "Polynominos".

[0005] Ein neueres Zusammensetzspiel aus einem Satz von Mosaikelementen ist z.B. aus der US-PS 4,133,152 (Penrose) bekannt.

[0006] Aus der US-PS 3,065,970 ist ein Zusammensetzspiel aus einem Satz von 29 verschiedenen "Pentacubes" und einem zusätzlichen Pentacube, der mit einem der 29 anderen identisch ist, besteht und zu vier verschiedenen Quadern zusammengesetzt werden kann, die alle das Volumen von 150 Einheitswürfeln haben.

[0007] Es ist selbstverständlich bekannt, eine Fläche, wie ein Quadrat, in Teilflächen unterschiedlicher Form aufzuteilen. Die Flächen selbst haben dabei jedoch im allgemeinen eine sehr einfache Form und die Teilflächen eignen sich nicht dazu, phantasievoll aussehende oder schwierig zusammensetzbare _Mosaike zu bilden.

[0008] Durch die Erfindung, wie sie in den Ansprüchen gekennzeichnet ist, wird ein Mosaikelementsatz geschaffen, der aus paarweise verschiedenen Mosaikelementen besteht, die in _'den verschiedensten Anordnungen dasselbe reguläre Vieleck mit gerader Seitenanzahl zu bilden vermögen und sich außerdem zum Bilden einer Grundform zum Ausfüllen der euklidschen Ebene eignen.

[0009] Die Mosaikmuster, die sich mit dem Mosaikelementsatz gemäß der Erfindung bilden lassen, sind sehr vielfältig, was sowohl ästhetische als auch praktische Vorteile haben kann. Der Mosaikelementsatz gemäß der Erfindung läßt sich einfach konstruieren, die Anzahl der verschiedenen Anordnungen, die das reguläre Vieleck bilden, erhöht sich rasch mit steigender Seitenzahl.

[0010] Die Erfindung kann zur Bildung einer Hierarchie von Zusammensetzspielen mit stark unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad dienen. Die Mosaikelementsätze gemäß der Erfindung lassen sich für die verschiedensten Zwecke verwenden, z.B. als Spiel, zu Lernzwecken, zu Testzwecken, für Fliesen, Pflaster, Parkett u.a.m.

[0011] Zur Bildung eines Mosaikelementsatzes gemäß der Erfindung wird von einem regulären Vieleck mit gerader Seitenanzahl 2n ausgegangen, wobei n eine natürliche Zahl ist. Dieses Vieleck wird in bekannter Weise in rhombische Teilflächen aufgeteilt. Hierdurch erhält man eine Menge von Rhomben, die jedoch nicht alle voneinander verschieden sind.

[0012] Der nächste Schritt zur Ermittlung der Konfiguration der Mosaikelemente des Mosaikelementsatzes gemäß der Erfindung wird nun aus der Rhombenmenge genau ein Exemplar von jedem Rhombentyp ausgewählt. Diese Rhomben bilden seine Teilmenge der Menge der Mosaikelemente des Mosaikelementsatzes. Die restlichen Mosaikelemente der Menge der Mosaiksteine des Mosaikelementsatzes gemäß der Erfindung werden dann durch paarweises Zusammensetzen der verblie- ' benen Rhomben nach bestimmten Regeln gebildet. Dies könnte auch dadurch erreicht werden, daß man die schon ausgewählten Rhomben, die paarweise verschieden sind, als Modelle für zusätzliche Rhomben verwendet und somit einen reichlichen Vorrat an Rhomben zur Paarbildung erstellt. Sehr bemerkenswert ist jedoch, daß die Anzahl der restlichen Rhomben der Menge nach Auswahl der erwähnten einzelnen Rhomben genau mit der Anzahl der Modelle zur Bildung der Rhombenpaare gemäß den Lehren der Erfindung übereinstimmt. Dies ist vor allem deshalb bemerkenswert, weil, wie die nachfolgende ausführliche Beschreibung der Erfindung zeigen wird, die Regeln für die Paarbildung vollständig unabhängig von dem hierfür zur Verfügung stehenden Vorrat an Rhomben ist.

[0013] Über die Anordnung der Mosaikelemente des Mosaikelementsatzes gemäß der Erfindung zu einem regulären Vieleck hinaus kann dieselbe Menge von Mosaikelementen , also derselbe Mosaikelementsatz, auch dazu verwendet werden, eine geschlossene Fläche zu bilden, die eine Grundform zum Ausfüllen der euklidschen Ebene bildet. Dies ist eine sehr bemerkenswerte Eigenschaft des erfindungsgemässen _Mosaikelementsatzes, da die so gebildete Grundform in nur zwei Fällen nicht das reguläre Vieleck ist, aus dem der Mosaikelementsatz gebildet wurde. Die hierdurch ermöglichte einfache Auslegung oder Bedeckung einer Fläche ist sehr nützlich für die Herstellung von Parkett-, Fliesen- und Tapetenmustern u.ä.

[0014] Eine Vielzahl von Mosaikelementsätzen gemäß der Erfindung kann nicht nur zu einer entsprechenden Vielzahl von regulären Vielecken zusammengesetzt werden, sondern auch zu einem solchen Vieleck und einem oder mehreren, dieses umgebenden, verschachtelten Ringen. Somit kann z.B. ein reguläres Vieleck aus einem erfindungsgemäßen Mosaikelementsatz mit drei zusätzlichen Mosaikelementsätzen so umgeben werden, daß ein weiteres , größeres reguläres Vieleck entsteht, dieses kann wiederum mit fünf zusätzlichen Mosaikelementsätzen umgeben werden, so daß ein weiteres, noch größeres Vieleck entsteht usw.

[0015] Die Mosaikelementsätze gemäss der Erfindung haben also außer der einfachen Bildung eines regulären Vielecks auch noch viele andere interessante und nützliche Eigenschaften.

[0016] Im folgenden wird ein bevorzugtes Ausführungsbeispiel der Erfindung unter Bezugnahme auf die Zeichnung näher erläutert.

[0017] Es zeigen:

Figur 1 einen Mosaikelementsatz gemäß einer Ausführungsform der Erfindung, dessen Mosaikelemente zu einem regulären Vieleck zusammengesetzt sind und

Figur 2 die Menge von Rhomben, aus der die Mosaikelemente des Mosaikelementsatzes gemäß Figur 1 gebildet werden können.

[0018] In Figur 1 ist ein erfindungsgemäß ausgebildeter Satz von Mosaikelementen oder "Mosaiksteinen" dargestellt, die zu einem regulären Vieleck mit 16 Seiten zusammengesetzt sind. Die-Mosaikelemente sind paarweise verschieden. Das dargestellte Vieleck kann mit dem Mosaikelementsatz auf die verschiedenste Weise zusammengesetzt werden. Bei dem Mosaikelementsatz gemäß Figur 1 sind mehr als 200 verschiedene Anordnungen der Mosaikelemente möglich.

[0019] Jedes der Mosaikelemente des in Figur 1 dargestellten Satzes besteht aus einem oder zwei Rhomben. Wird eines der Mosaikelemente aus zwei Rhomben gebildet, dann treten an keinem Schnittpunkt kollineare Kanten auf. Hierdurch läßt sich jeder Schnittpunkt_/an dem zwei Rhomben zusammentreffen, d.h. jede Stoßstelle zwischen den Enden zweier Seiten verschiedener Rhomben, leicht an dem sich ergebenden Mosaikelement erkennen, da das Mosaikelement dort einen Winkel oder eine Ecke aufweist. Es ist also offensichtlich, daß die Mosaikelemente 1, 2, 3 und 4 jeweils aus einem einzigen Rhombus und die restlichen Mosaikelemente aus jeweils einem Paar von Rhomben bestehen. Die Mosaikelemente 5,6 und 7 bestehen aus einem Quadrat (eine spezielle Rhombusform) und einem anderen Rhombus,die Mosaikelemente 8,9 und 10 sind aus zwei identischen Rhomben gebildet, und die übrigen Mosaikelemente 11, 12, 13, 14, 15 und 16 setzt sich aus zwei verschiedenen Rhomben zusammen. Die Mosaikelemente 11 und 15, 12 und 13, 14 und 16 können als "zweieige Zwillinge" bezeichnet werden, da die Rhomben jedes dieser Paare mit den Rhomben des jeweils anderen Paares übereinstimmen, die unterschiedliche Anordnung der Rhomben der Paare ergibt jedoch zwei verschiedene Mosaikelemente.

[0020] Aus jedem regulären Vieleck mit gerader Seitenzahl kann ein Satz von Mosaiksteinen gemäß der Erfindung folgendermassen konstruiert werden:

Das reguläre Vieleck mit gerader Seitenzahl wird zuerst in eine Menge von Rhomben unterteilt, wie es beispielsweise in Figur 2 dargestellt ist. Die vier Seiten eines jeden Rhombus sind selbstverständlich jeweils so lang wie eine Seite des regulären Vielecks. Ist die Anzahl p der Seiten des Vielecks gleich 4q, wobei q eine beliebige natürliche Zahl ist, dann enthält die sich ergebende Menge von Rhomben q verschiedene Typen von Rhomben mit q Quadraten und 2q Rhomben von jeden der übrigen (q-1) Typen. Die Gesamtzahl der Rhomben ist somit gleich q(2q-1). Bildet man nun den Satz von Mosaikelementen gemäß der Erfindung so erhält man q Mosaikelemente. Jeder Rhombentyp kann durch den spitzen Winkel eindeutig bestimmt werden, der spitze Winkel muß dabei ein ganzzahliges Vielfaches von 360°/p sein, wobei die ganze Zahl nicht größer als q ist.

[0021] Die Menge der Rhomben, aus der die Mosaikelemente gemäß Figur 1 gebildet sind, ist in Figur 2 dargestellt. Die Quadrate sind mit den Nummern 4, 5a, 6a und 7a bezeichnet. Die vier Quadrate ergeben sich deshalb, weil für das in Figur 2 dargestellte Vieleck p gleich 16 ist und somit q gleich 4 sein muß. Das Quadrat ist der Extremfall, in dem der "spitze" Winkel im Rhombus gleich 90° ist. 90° ist ja auch ein ganzzahliges Vielfaches, nämlich das Vierfache (q-fache) von 360⁰/p. Nun müssen 2q (d.h. 8) Rhomben vorhanden sein, deren spitzer Winkel.gleich 360 /p' mal 3 , also 67,5° ist, diese Rhomben sind in Figur 2 mit den Nummern 3, 6b, 8a, 8b, 11a, 12a, 13a und 15 bezeichnet. Weiterhin sind zwei 2q (d.h. 8) Rhomben vorhanden, deren spitzer Winkel gleich 360°/p mal 2 (45°) ist, dies sind in Figur 2 die Rhomben mit den Nummern 2, 5b,9a, 9b, 11b, 14a, 15b und 16a. Schließlich müssen noch zwei 2q (d.h. 8) Rhomben vorliegen, deren spitzer Winkel gleich 360°/p mal 1 (22,5°) ist, dies sind die Rhomben 1, 7b, 10a, 10b, 12b, 13b, 14b und 16b.

[0022] Die anhand von Figur 2 beschriebene Aufteilung des regulären Vielecks in die Menge von Rhomben dient nur zur Erläuterung und ist nicht einschränkend auszulegen. Für die Konstruktion der Menge von Rhomben aus einem regulären Vieleck ist eine spezielle Anordnung der Rhomben nicht erforderlich, da die oben gegebenen Lehren zur Konstruktion der Menge der Rhomben unabhängig von der speziellen Anordnung der Rhomben ist.

[0023] Nachdem nun die erforderliche Menge von Rhomben vorliegt, wird der Satz der Mosaikelemente gemäß der Erfindung wie folgt konstruiert:

Zuerst wird von jedem der verschiedenen Rhombentypen genau ein einziger Rhombus ausgewählt und als Mosaikelement verwendet. Dies sind in Figur 1 die Mosaikelemente 1,2,3 und 4, die jeweils aus einem einzigen Rhombus bestehen und selbstverständlich eine Anzahl gleich der paarweise verschiedenen Rhombentypen in Figur 2 aufweisen. Die restlichen Mosaikelemente werden nun aus Paaren der übrigen Rhomben in Figur 2 gebildet, wobei zu beachten ist, daß beim Zusammensetzen zweier Rhomben an keinem der Schnittpunkte der Seiten der beiden Rhomben eine kollineare Kante, also ein gestreckter Winkel, auftritt. Hieraus folgt automatisch , daß man kein Mosaikelement aus zwei Quadraten bilden kann und man wird daher drei Mosaikelemente konstruieren, indem man ein Quadrat mit einem Exemplar eines anderen Rhombentyps an zwei Seiten zusammensetzt. In Figur 1 bestehen die Mosaikelemente 5,6 und 7 jeweils aus einem Quadrat und einem anderen Rhombentyp.

[0024] Dann werden drei weitere Mosaikelemente gebildet, indem man ein Exemplar aus jedem der nichtquadratischen Rhombentypen mit einem identischen Exemplar zusammensetzt und damit jeweils eine Konfiguration bildet, die oben als "eineiger Zwilling" bezeichnet wurde. Dies sind die Mosaikelemente 8, 9 und 10 in Figur 1.

[0025] Aus den restlichen Rhomben werden nun dadurch Mosaikelemente gebildet, daß man jeden dieser Rhomben mit einem Rhombus anderen Typs auf jede der beiden möglichen Arten zusammensetzt und damit zwei verschiedene "isotope" Arten eines zweieigen Zwillings bildet.

[0026] _Z.B. besteht das Mosaikelement 11 in Figur 1 aus den _Rhomben 11a und 11b, die so zusammengesetzt sind, daß die"kurze" Form des zweieiigen Zwillings entsteht, wogegen das Mosaikelement 15 in Figur 1 aus dem gleichen Rhombentyp so zusammengesetzt ist, daß sich die "lange" Form des zweieiigen. Zwillings ergibt. Das Mosaikelement 14 ist die "kurze" Form eines zweieiigen Zwillings, dessen "lange" Form das Mosaikelement 16 darstellt.

[0027] Obwohl die Konstruktion der in Figur 1 dargestellten Mosaikelemente unter Zuhilfenahme der Figuren 1 und 2 erläutert wurde, dürfte aus den obigen Ausführungen ersichtlich sein, daß die Bildung der Mosaikelemente aus der Menge der Rhomben leicht möglich ist, ohne auf das reguläre Vieleck, das die Grundlage des Parkett- oder Mosaikmusters (Tessellation) ist, Bezug zu nehmen.

[0028] Bemerkenswert ist, daß obwohl die Kombination eines Quadrates mit einem anderen Rhombentyp als zweieiiger Zwilling angesehen werden kann, der andere entsprechende zweieiige Zwilling das Spiegelbild des ersten ist und somit nur ein Mosaikelement aus der Verbindung eines Quadrats mit einem beliebigen anderen Rhombentyp gebildet wird.

[0029] Bei der obigen Beschreibung der Unterteilung des 16-seitigen Vielecks in Figur 1 und 2 wurden die Regeln für ein Vieleck mit 4q Seiten erläutert. Die anderen möglichen Vielecke mit gerader Seitenzahl sind die mit einer Seitenzahl p gleich 4 (q+ 1/2). In diesem Fall enthält die Menge der Rhomben q paarweise verschiedene Rhombentypen und (2q + 1) Exemplare eines jeden Typs. Die Gesamtzahl aller Rhomben ist somit gleich q (2q + 1). Die Menge von Mosaikelementen, die entsprechend der Erfindung aus dieser Rhombenmenge gebildet wird, besteht demnach aus q (q + 1) Mosaikelementen. Wie im.Falle p = 4 q ist jeder Rhombentyp durch seinen spitzen Winkel eindeutig festgelegt und dieser Winkel ist ein ganzzahliges Vielfaches von 360⁰/p, wobei die ganze Zahl nicht größer als q ist. Der größtmögliche derartige Winkel ist somit kleiner als 90° und deshalb ist keiner der Rhomben ein Quadrat.

[0030] Aus den vorhergehenden Ausführungen ist ersichtlich, daß die Menge der Rhomben, die zur Bildung der Mosaikelemente erforderlich ist, leicht zu bilden und daß man die Mosaikelemente auf einfache Weise aus der Menge der Rhomben gewinnen kann, auch ohne Bezug auf das reguläre Viereck, das die Basis für das Mosaikmuster oder Flächen erfüllende Muster ist. Zur Konstruktion des Mosaikelementsatzes ist es also nicht nötig, das Mosaik-Puzzle zu lösen.

[0031] Die Einschränkung in der Rhomben-Paarbildung gemäß den Lehren der Erfindung, d.h. die Bedingung, daß in keinem der Schnittpunkte kollineare Kanten auftreten dürfen, ist sehr wichtig, da beim Vorhandensein eines derartigen Paares in einem Mosaikelement des Mosaikelementsatzes die Bildung des gewünschten regulären Vielecks nicht möglich ist.

[0032] Es war bereits erwähnt worden, daß man mit weiteren Mosaikelementsätzen konzentrische "Ringe" aus Mosaikelementen um das das Grundmuster bildende reguläre Vieleck bilden kann, wobei sich dann als äußere Begrenzung ein neues Vieleck mit.einer größeren Seitenzahl ergibt.

Ansprüche

1.) Mosaikelementsatz aus voneinander verschiedenen, polygonförmigen Mosaikelementen zum Ausfüllen einer Fläche, die durch ein reguläres Vieleck mit gerader Seitenzahl 2n begrenzt ist und zum Bilden einer Grundform zum Ausfüllen der euklidschen Ebene , wobei n eine natürliche Zahl bedeutet, das reguläre Vieleck in eine Menge von (n-1) n/2 Rhomben zerlegbar ist und die Menge der Rhomben aus einer Anzahl von Teilmengen besteht, welche jeweils Rhomben unter sich gleicher , jedoch von Teilmenge zu Teilmenge verschiedener Form enthalten, dadurch gekennzeichnet, daß er aus Mosaikelementen (1 bis 4) besteht, die jeweils die Form eines Exemplars der verschiedenen Teilmengen haben, und ferner aus Mosaikelementen (5 bis 16) mit Formen, die sich ergeben, wenn man je zwei der verbleibenden Rhomben der Menge mit zwei Seiten so aneinander setzt, daß die entstehenden Mosaikelemente paarweise verschieden sind und die mit ihren Enden aneinanderstoßenden Seiten beider Rhomben keinen gestreckten Winkel bilden.

2.) Mosaikelementsatz nach Anspruch 1,_'dadurch gekennzeichnet , daß die Anzahl der Seiten des Vielecks gleich 2n = 4q ist, wobei q eine natürliche Zahl bedeutet, so daß der spitze Winkel eines jeden Rhombus der Menge ein ganzzahliges Vielfaches von 360°/p ist; daß die ganze Zahl nicht größer als q ist und daß die Menge von Rhomben q Quadrate und 2q Exemplare jedes der (q-1) anderen Rhombentypen enthält, derart, daß die Gesamtzahl der Mosaikelemente des Satzes gleich q² ist.

3.) _Mosaikelementsatz nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die Anzahl der Seiten des regulären Vielecks gleich 2n = 4 (q + 1/2) ist, wobei der spitze Winkel jedes Rhombus der Menge ein ganzzahliges Vielfaches von 360⁰/p und die ganze Zahl nicht größer als p ist, und daß die Menge der Rhomben (2q + 1) Exemplare eines jeden Rhombentyps enthält, so daß die Gesamtzahl der Mosaikelemente des Satzes gleich q (q + 1) ist.

4.) Mosaikelementsatz nach Anspruch 1, 2 oder 3, dadurch gekennzeichnet, daß er ein Spiel bildet.

5.) Mosaikelementsatz nach Anspruch 1,2 oder 3, dadurch gekennzeichnet , daß die Mosaikelemente aus Fliesen bestehen.

6.) Mosaikelementsatz nach Anspruch 1,2 oder 3, dadurch gekennzeichnet , daß der Mosaikelementsatz ein omamentales Muster bildet.

7.) Mosaikelementsatz nach Anspruch 1,2 oder 3, dadurch gekennzeichnet , daß die Mosäikelemente ein Parkett bilden.

Zeichnung