Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt.

Komplexe technische Einrichtungen, wie Fahrzeuge aller Art, mit im allgemeinen einer Vielzahl von Komponenten, werden in der Regel nach Ausfall der einen oder anderen Komponente durch Reparatur oder Austausch wieder in Stand gesetzt. Für eine langfristige Ersatzkomponentenplanung ist es wesentlich, die Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente möglichst zuverlässig zu bestimmen, da deren Integration über die Betriebszeit unter Berücksichtigung des Bestands den Ersatzbedarf an der jeweiligen Komponente angibt. Die Ausfallsraten der einzelnen Komponenten sind herstellerseitig häufig unbekannt, zumal dann, wenn für den jeweiligen Einsatzzweck in der technischen Einrichtung eigens konstruierte Komponenten eingesetzt werden. Von einzelnen Bestandteilen der Komponenten mögen zwar Ausfallsraten bekannt sein - ein zuverlässiger Schluß auf die Ausfallsrate der Komponente selbst läßt sich bei einer entsprechenden Vielzahl von Einzelteilen in der Regel jedoch nicht durchführen.

Aus der fraglichen Komponenten läßt sich unmittelbar oder über die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) die Ausfallsrate λ(t) berechnen. Die Lebensdauerverteilung der jeweiligen Komponente wird daher laufend während des Einsatzes der technischen Einrichtungen ermittelt, um hieraus die Ausfallsrate für eine Prognose zukünftigen Bedarfs an dieser Komponente zu berechnen. Hierbei geht man so vor, daß man bei jedem Ausfall der technischen Einrichtung aufgrund einer defekten Komponente bzw. bei jedem Austausch einer defekten Komponente anläßlich einer Wartung der Einrichtung, den Austausch dieser Komponente registriert und dabei auch notiert, um den wievielten Austausch es sich bei dieser Komponente innerhalb dieser technischen Einrichtung handelt.

Aus diesen so gewonnenen Daten läßt sich unmittelbar die Ausfallsrate λ(t) aus dem Quotienten der Anzahl der ausgefallenen Komponenten und des betreffenden Beobachtungszeitraums bestimmen. In dieser direkt berechneten Ausfallsrate ist allerdings das durch statistische Schwankungen bedingte Systemrauschen der Lebensdauern der einzelnen Komponenten nicht berücksichtigt. Eine zuverlässige Ausfallsprognose auf der Basis einer direkt aus den gewonnenen Daten berechneten Ausfallsrate λ(t) ist somit nicht möglich.

Um ein das Systemrauschen berücksichtigendes und damit schärferes, für Prognosen geeigneteres Ergebnis für die Ausfallsrate λ(t) zu erhalten, ermittelt man aus den gewonnenen Daten Lebensdauerverteilungen f(t), wobei im folgenden die Lebensdauerverteilung der im Wartungszeitraum zum ersten Mal ausgefallenen Komponenten mit f₁(t) bezeichnet ist und die Lebensdauerverteilung der zum zweiten Mal ausfallenden Komponenten f₂(t) usw. Aus den so ermittelten Lebensdauerverteilungen läßt sich dann im Prinzip die Ausfallsrate λ(t) bestimmen, beispielsweise indem man die Laplace-Transformierten der Lebensdauerverteilungen aufsummiert und die Summe rücktransformiert (siehe z. B. Cox, D.R.; Miller, H.: The Theory of Stochastic Processes, Methun & Co. LTD, London).

Aus der klassischen Erneuerungstheorie läßt sich eine einfache Beziehung für die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) ableiten und zwar als Quotient der Laplace-Transformierten f₁(s) der ersten Lebensdauerverteilung f₁(t) geteilt durch die Differenz von 1 und der Laplace-Transformierten f(s) einer der weiteren Lebensdauerverteilungen f(t). Vorausgesetzt ist hier jedoch, daß die weiteren Lebensdauerverteilungen alle gleich sind. Vorausgesetzt ist weiterhin, daß sich auch der Bestand an den technischen Einrichtungen nicht ändert. Diese Voraussetzungen sind jedoch häufig nicht erfüllt.

So ändert sich beispielsweise der Bestand an Kampfflugzeugen im Laufe der Zeit nach vorgegebenen Ausmusterungsplänen. Hinzu kommen können weitere Bestandsreduzierungen, z. B. aufgrund von Unfällen oder nicht mehr lohnender Reparatur.

Der Erfindung liegt die Überlegung zugrunde, daß z. B. eine Reduzierung des Bestandes zu weniger Ausfällen führt, d. h. zu geänderten Lebensdauerverteilungen. Legt man diese Lebensdauerverteilungen dann der Berechnung der Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente zugrunde, so ergeben sich in der Regel zu geringe Werte für die Ausfallrate λ(t); eine höhere Zuverlässigkeit der jeweiligen Komponente wird vorgetäuscht. Eine Bedarfsprognose für die Komponente auf der Grundlage der so ermittelten Ausfallsrate λ(t) liefert daher falsche Ergebnisse.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Art anzugeben, welches einen sich zeitlich ändernden Gesamtbestand an den technischen Einrichtungen berücksichtigt.

Diese Aufgabe wird dadurch gelöst, daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert. Wie bereits angesprochen, ergibt sich die Ausfallsrate λ(t) aus der gemessenen Lebensdauerverteilung f(t), und zwar, entsprechend dem jeweils gewählten mathematischen Formalismus, unmittelbar aus der Lebensdauerverteilung f(t) oder aus der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t). Die erfindungsgemäße Korrektur zur Berücksichtigung der Bestandsfunktion G(t) kann bei der Lebensdauerverteilung f(t) oder der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) vorgenommen werden.

Die Korrektur der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) wird bevorzugt dadurch vorgenommen, daß man die korrigierte kumulierte Lebensdauerverteilung F⁰(t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall t-1 bis t eine Ausfallszahl A(t) als Anzahl der im momentanen sowie in sämtlichen vorangegangenen Zeitintervallen ausgefallenen Komponenten feststellt, daß man jeweils die in den vorangegangenen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Bestandsfunktion G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb gesetzten Komponenten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw. zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten und bereits bestimmten Lebensdauerverteilung F(i) abhängt, und die so ermittelten Produkte für sämtliche vorangegangenen Zeitintervalle (i = 1 bis t - 1) addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors B(t) bzw. C(t), und daß man als kumulierte Lebensdauerverteilung F⁰(t) den Quotienten aus der Differenz von Ausfallszahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß folgende Beziehung gilt:$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\text{F}}^{\text{0}}\text{(t) =}\frac{\text{A(t) - B(t)}}{\text{1 - C(t)}}\text{mit}\\ \text{A(t) =}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t}} \text{a(i)}\text{,\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}B(t) =}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t-1}} \text{b(i) · β(i)}\text{,\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}C(t) =}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t-1}} \text{b(i) · γ(i)}\text{.}\end{array}\end{array}$$

Hierbei wird vorgeschlagen, daß der erste Term β(i) der Quotient aus der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, das heißt$$\text{β(i) =}\frac{\text{F(i)}}{\text{1 - F(i)}}\text{und γ(i) =}\frac{\text{1}}{\text{1 - F(i)}}\text{.}$$

Hierdurch läßt sich auf einfache Weise der Einfluß der sich ändernden Bestandsfunktion G(t) auf die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) berücksichtigen. Durch zeitliche Differentiation der korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilung F⁰(t) läßt sich die korrigierte Lebensdauerverteilung f⁰(t) bestimmen. Daraus erhält man die Ausfallsrate λ(t) durch beispielsweise numerisches Lösen der folgenden Integralgleichung:$${\text{λ(t) = f}}_{\text{1}}{\text{}}^{\text{0}}\text{(t) +}\int_{\text{0}}^{\text{t}} {\text{λ(t - u) · f}}^{\text{0}}\text{(u) du}\,d \text{,}$$ wobei u die Integrationsvariable, f₁(t) die erste Lebensdauerverteilung und f(u) (bzw. f(t)) die zweite, dritte, usw. Lebensdauerverteilung ist.

Die klassische Erneuerungstheorie setzt, wie bereits angesprochen, voraus, daß sich die Lebensdauerverteilungen einer Komponente, also die erste, die zweite usw. Lebensdauerverteilung, nicht voneinander unterscheiden. Diese Voraussetzung ist in vielen praktischen Fällen jedoch nicht erfüllt. Eine mögliche Ursache hierfür ist, daß die jeweils ausgefallene Komponente nicht durch eine fabrikneue Komponente ersetzt wird, sondern durch eine überholte Komponente, wie z. B. Austauschmotor. Eine derartige überholte Komponente weist also eine Vielzahl nicht überholter, d. h. älterer Komponententeile auf, sowie eine oder mehrere neue Komponententeile. Aufgrund des Anteils an älteren Komponententeilen wird die mittlere Lebensdauer dieser Austauschkomponenten im allgemeinen geringer sein als die einer fabrikneuen Komponente. Es ist jedoch auch denkbar, daß die Lebensdauer einer Austauschkomponente größer ist als die einer fabrikneuen, z. B. deshalb, weil in der Austauschkomponente ein weniger störanfälliges Komponententeil eingesetzt worden ist als in der fabrikneuen Komponente.

Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung, der vom vorstehenden Aspekt Berücksichtigung der Bestandsfunktion an sich unabhängig ist, jedoch bevorzugt in Verbindung mit diesem realisierbar ist, befaßt sich die Erfindung mit einem Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Ersetzen der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Austausch und wenigstens nach einem zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung f₁(t), f₂(t) der Komponenten bestimmt.

Zur Berücksichtigung sich ändernder Lebensdauerverteilungen wird vorgeschlagen, daß man die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert$${\text{λ(s) = f}}_{\text{1}}\text{(s)}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{∞}} \left(\text{exp}\left(\text{- s}\sum_{=\text{j=2}}^{\text{i}} {\text{µ}}_{\text{j}}{\text{+ ½ s}}^{\text{2}}\sum_{=\text{j=2}}^{\text{i}} {\text{σ}}_{\text{j}}^{\text{2}}\right)\right)\text{,}$$ wobei f₁(s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauerverteilung, µ_j das erste Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f_j(t), σ_j das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f_j(t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch Laplace-Rücktransformation berechnet.

Somit läßt sich zumindest für vergleichsweise große Betriebszeiten (d. h. im allgemeinen t ≥ µ) die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) als einfache Summe über die Laplace-Variable s sowie die ersten und zweiten Momente der Lebensdauerverteilungen enthaltende Terme weitgehend exakt berechnen und daraus die Ausfallsrate λ(t) selbst durch Laplace-Rücktransformation bestimmen.

Für den Fall, daß die Differenz Δµ der ersten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen sowie die Differenz Δσ² der Quadrate der zweiten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen im wesentlichen konstant ist (d. h. die ersten Momente µ_j und die Quadrate der zweiten Momente σ_j der Lebensdauerverteilungen ändern sich angenähert linear mit der Zeit), läßt sich die Ausfallsrate λ(t) unmittelbar in einfacher Weise dadurch berechnen, daß man die Ausfallsrate λ(t) nach folgender Beziehung annähert:$$\text{λ(t) ≅}\frac{\text{1}}{\text{µ}}\text{+}\frac{\text{Δµ}}{{\text{µ}}^{\text{3}}}\text{· t -}\frac{\text{Δµ}}{{\text{µ}}^{\text{2}}}\left(\frac{{\text{µ}}_{\text{1}}}{\text{µ}}\text{-}\frac{\text{3}}{\text{2}}\left(\text{1 +}\frac{{\text{σ}}^{\text{2}}}{{\text{µ}}^{\text{2}}}\right)\right)\text{+}\frac{{\text{Δσ}}^{\text{2}}}{{\text{2µ}}^{\text{3}}}\text{,}$$ wobei µ₁ das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f₁(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f₂(t), Δµ die Differenz der ersten Momente µ₂ und µ₃ zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f₂(t) und f₃(t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f₂(t) und Δσ² die Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente σ₂ und σ₃ der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f₂(t) und f₃(t) bedeuten.

Die Erfindung wird im folgenden an bevorzugten Ausführungsbeispielen anhand der Zeichnungen erläutert. Es zeigt:

Fig. 1

schematisch einen Bestand an technischen Einrichtungen in Form von Fahrzeugen mit einer Vielzahl von Komponenten;

Fig. 2

in ihrem mit a bezeichneten oberen Teil eine kumulierte Ausmusterungskurve F_end(t) und eine Bestandskurve G(t) aufgetragen über die Zeit, und in ihrem mit b bezeichneten unteren Teil Ausfälle einer bestimmten gleichen Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis f aufgetragen über die Zeit unter Berücksichtigung der Bestandskurve G(t) aus Fig. 2a;

Fig. 3

ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f₁(t) bis zum ersten Ausfall der Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis f entsprechend dem Ausfallsverhalten gemäß Fig. 2b sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F₁(t) aufgetragen über die Zeit;

Fig. 4

ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f₂(t) bis zum zweiten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F₂(t) über die Zeit;

Fig. 5

ein Histogramm unter anderem der Lebensdauerverteilung f₃(t) bis zum dritten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F₃(t) über die Zeit;

Fig. 6

Graphen einer Lebensdauerverteilung f_i(t) und ihr erstes Moment µ_i sowie einer den auf diese unmittelbar folgenden Erneuerungsprozeß charakterisierenden, von dieser verschiedenen Lebensdauerverteilung f_i+1(t) und ihr erstes Moment µ_i+1; und

Fig. 7

Graphen einer Ausfallsrate λ_Δµ=0(t) bei konstanten Lebensdauerverteilungen ${\text{f}}_{\text{i}}{\text{(t) = f}}_{\text{i+1}}\text{(t)}$ (durchgezogene Linie) sowie einer Ausfallsrate λ_Δµ≠0(t) bei nicht konstanten Lebensdauerverteilungen ${\text{f}}_{\text{i}}{\text{(t) ≠ f}}_{\text{i+1}}\text{(t)}$ (gepunktete Linie) sowie einer Asymptote λ_A(t) (strichpunktierte Linie).

In Fig. 1 ist schematisch ein Bestand an technischen Einrichtungen in Form von sechs Fahrzeugen a bis f dargestellt, die sich aus einer Vielzahl von schematisch dargestellten Komponenten 12, 14, 16, 18 zusammensetzen, wie z. B. einem Motor, einer Bremsanlage, einer Batterie, einer Lenkung oder dergleichen. Jedes Fahrzeug des Bestandes ist gleich aufgebaut und setzt sich somit jeweils aus den gleichen Komponenten wie die übrigen Fahrzeuge des Bestandes zusammen. Die einzelnen Komponenten sind wiederum aus Komponententeilen zusammengesetzt, welche bei einem Ausfall einer der Komponenten 12, 14, 16, 18 zur Reparatur derselben einzeln ausgetauscht werden können.

Die Fahrzeuge a bis f des Bestandes werden bezüglich ihres Ausfallsverhaltens, d. h. im Hinblick auf auftretende Ausfälle einzelner Komponenten und Reparaturen bzw. Neueinbau derselben, überwacht und aufgetretene Ausfälle werden dokumentiert.

Die so gewonnenen Ausfalldaten können dann mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens ausgewertet werden.

Bei dieser Auswertung kann eine in Fig. 2a dargestellte Bestandsfunktion G(t) berücksichtigt werden. Diese Bestandsfunktion G(t) gibt den Gestambestand an Fahrzeugen (d. h. die Anzahl der im Betrieb befindlichen Fahrzeuge) bezogen auf den Anfangsbestand in Abhängigkeit von der Betriebszeit t der Fahrzeuge an. Der Verlauf der Bestandsfunktion G(t) kann einerseits dadurch bestimmt werden, daß Fahrzeuge aufgrund einer vorgegebenen Ausmusterungskurve außer Betrieb gesetzt werden und somit eine weitere Beobachtung des Ausfallsverhaltens der Komponenten bei einem derartigen Fahrzeug nicht mehr möglich ist, oder daß andererseits das Fahrzeug durch einen Unfall oder dergleichen ausfällt und nicht mehr repariert wird. Auch in diesem zweiten Fall bricht die Beobachtung der einzelnen Systemkomponenten ab.

Fig. 2a zeigt ferner die kumulierte Lebensdauerverteilung F_end(t) der Fahrzeuge, welche die Anzahl der außer Betrieb gesetzten Fahrzeuge bezogen auf die anfangs in Betrieb genommenen Fahrzeuge a bis f angibt und welche gemäß folgender Beziehung mit der Bestandsfunktion G(t) zusammenhängt:$${\text{G(t) = 1-F}}_{\text{end}}\text{(t).}$$

In Fig. 2b sind die gesammelten Ausfallsdaten einer jeweils gleichen Komponente S (beispielsweise eines Motors) in den Fahrzeugen a bis f jeweils auf einer Zeitachse graphisch dargestellt. Betrachtet man beispielsweise die Komponente S_a des Fahrzeugs a, so ist zu erkennen, daß ein erster Ausfall a₁ der Komponente S_a nach einer Zeit t_a1 ab dem Beobachtungsstartzeitpunkt (t = 0) stattgefunden hat. Nach diesem Ausfall wurde die Komponente S_a gegen eine fabrikneue oder überholte Komponente ausgetauscht und das Fahrzeug a wurde erneut in Betrieb genommen. Nach einem weiteren Zeitraum t_a2 trat dann im Fahrzeug a ein zweiter Ausfall der Komponente S auf, wie durch den Punkt a₂ angedeutet. Daraufhin wurde die Komponente erneut gegen eine fabrikneue bzw. überholte Komponente S ausgetauscht und das Fahrzeug wieder in Betrieb genommen. Nach einem weiteren Zeitraum t_a3 nach der erneuten Inbetriebnahme fiel die Komponente S im Fahrzeug a ein drittes Mal aus, wie durch den Punkt a₃ angedeutet. Zu diesem Zeitpunkt wurde das Fahrzeug a schließlich stillgelegt.

Nach dem gleichen Prinzip sind jeweils die Ausfalldaten der Komponente S in den Fahrzeugen b bis f dargestellt, wobei besonderes Augenmerk auf die Komponenten S_c und S_d der Fahrzeuge c, d zu richten ist. Bei beiden Fahrzeugen endet der letzte Beobachtungszeitraum t_c3' und t_d3' nicht mit einem Ausfall der Komponente S_c bzw. S_d. Die beobachtete Komponente S_c bzw. S_d ist am Ende der Beobachtung (Stillegung bei Fahrzeug d, Beobachtungszeitraumende B_E bei Fahrzeug c) noch funktionstüchtig, d. h. nicht ausgefallen, und darf somit bei der Abschätzung einer Ausfallsrate λ(t) nicht ohne entsprechende Korrektur (siehe unten) als Komponentenausfall behandelt werden, da dies das Ergebnis verfälschen würde.

Über strichlierte Linien 20 ist ein direkter Zusammenhang zwischen Fig. 2a und 2b dargestellt. Beispielsweise werden zum Zeitpunkt t = 7 die Fahrzeuge b und d außer Betrieb genommen, so daß die Bestandskurve entsprechend fällt. Zum Zeitpunkt t = 8 wird das Fahrzeug f stillgelegt, so daß die Bestandskurve weiter fällt, usw.

Die in Fig. 2b zur Veranschaulichung dargestellten Ausfallsdaten der Komponente S der Fahrzeuge a bis f können nun zur Bestimmung der Lebensdauerverteilungen f_i(t) für den i-ten Ausfall der Komponente S verwendet werden, wie in den Fig. 3 bis 5 für die ersten, zweiten und dritten Ausfälle der Komponente dargestellt.

In Fig. 3 sind die ersten Ausfälle (Index 1) der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f als Histogramm aufgetragen, welches die Lebensdauerverteilung f₁(t) bildet. Jeder Ausfall ist mit einem Punkt markiert und das zugehörige Zeitintervall vom Beobachtungsstart bis zum Ausfall unter Verwendung eines Bemaßungspfeils angegeben (in Fig. 3 oben). Die jeweils pro Zeitschritt der t-Achse aufgetretenen Ausfälle werden aufsummiert; die Summe ergibt die Stufenhöhe. Beispielsweise fallen im Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2 die Systemkomponenten S_f und S_d zum ersten Mal seit dem Beobachtungsstart (t = 0) aus, so daß das Histogramm für dieses Zeitintervall eine Ausfallszahl A₁ (= Stufenhöhe) von 2 angibt. Auf ein Ende eines Zeitschritts fallende Ausfälle werden diesem Zeitschritt zugeordnet. Der Ausfall d₁ ist also der zweite Ausfall in dem Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2. Die Lebensdauerverteilung f₁(t) gibt somit die stochastische Verteilung der Lebensdauern der Komponenten S_a bis S_f für den ersten Ausfall seit Beobachtungsstart (t = 0) wieder.

Bei der bebensdauerverteilung f₁(t) bis zum ersten Ausfall kann der Fall eintreten, daß der Beobachtungsstart nicht mit dem Zeitpunkt der ersten Inbetriebnahme der Komponente S zusammenfällt. So haben selbst "fabrikneu" angelieferte Fahrzeuge bereits eine gewisse Betriebszeit (z. B. Probelaufzeit) hinter sich. Die erhaltene Lebensdauerverteilung f₁(t) hat somit nicht den Verlauf der an sich gewünschten Lebensdauerverteilung mit Beobachtungsstart ab erster Inbetriebnahme. Um die in f₁(t) enthaltene Information nicht zu verlieren und eine frühzeitige Prognose für den Komponentenbedarf zu ermöglichen, wird im nachfolgend beschriebenen Verfahren die Lebensdauerverteilung f₁(t) mit berücksichtigt.

Die gemessene Lebensdauerverteilung f₂(t) ab dem ersten Ausfall bis zum zweiten Ausfall der Komponenten S_a bis S_f (siehe Fig. 4) ist also die erste vollständige Lebensdauerverteilung.

Fig. 3 zeigt zusätzlich zu f₁(t) noch eine kumulierte Lebensdauerverteilung F₁(t) bis zum ersten Ausfall. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit, daß eine Komponente S der Fahrzeuge a bis f bis zum Zeitpunkt t ausfällt.

Allgemein gilt zwischen der i-ten Lebensdauerverteilung f_i(t) und der zugehörigen i-ten kumulierten Lebensdauerverteilung F_i(t) der Zusammenhang:$${\text{F}}_{\text{i}}\text{(t) =}\int_{\text{0}}^{\text{t}} {\text{f}}_{\text{i}}\text{(x) dx}\,d {\text{bzw. f}}_{\text{i}}\text{(t)=}\frac{{\text{dF}}_{\text{i}}\text{(t)}}{\text{dt}}\text{.}$$

Fig. 4 zeigt einen Graph entsprechend Fig. 3 für die Ausfälle a₂ bis f₂, d. h. jeweils für den zweiten Ausfall der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f jeweils seit Wiederinbetriebnahme des Fahrzeugs nach dem ersten Ausfall der Komponente S. Die jeweiligen Lebensdauern t_a2 bis t_f2 sind also die Betriebszeiten der jeweiligen Fahrzeuge a bis f ab der Wiederinbetriebnahme nach dem ersten Ausfall der Komponente S bis zum zweiten Ausfall der Komponente S. Entsprechend Fig. 3 ist die Lebensdauerverteilung f₂(t) bis zum zweiten Ausfall und eine gemäß Gleichung (2) gewonnene, kumulierte Lebensdauerverteilung F₂(t) über die Zeit aufgetragen. Es ist anzumerken, daß gemäß Fig. 2a und 2b alle Fahrzeuge a bis f bis zum zweiten Ausfall der Komponente S in Betrieb sind, d. h. daß die Komponente S in jedem Fahrzeug zweimal ausgefallen ist, bevor eines der Fahrzeuge a bis f stillgelegt wurde.

Fig. 5 zeigt eine Lebensdauerverteilung f₃(t) (strichlierte Linie) und eine daraus gewonnene kumulierte Lebensdauerverteilung F₃(t) (Strich-Doppelpunkt-Linie) für die Ausfälle der Komponente S in den Fahrzeugen a, b und f. Es ist zu erkennen, daß die Komponenten S der Fahrzeuge c, d und e nicht zur Lebensdauerverteilung f₃(t) und der kumulierten Lebensdauerverteilung F₃(t) beitragen, da in diesen Fahrzeugen die Komponente S kein drittes Mal ausfällt. Fahrzeug c ist nach dem zweiten Ausfall der Komponente S und der entsprechenden Reparatur über den Beobachtungszeitraum hinaus ohne weiteren Ausfall der Komponente S in Betrieb. Fahrzeug d wird mit intakter Komponente S im Beobachtungszeitraum stillgelegt. Fahrzeug d wird unmittelbar nach dem zweiten Ausfall der Komponente S stillgelegt

Da bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung f₃(t) bzw. der daraus gewonnenen kumulierten Lebensdauerverteilung F₃(t) nur die im Beobachtungszeitraum im betreffenden Fahrzeug zum dritten Mal ausgefallenen Komponenten (S_a, S_b, S_f) berücksichtigt sind, jedoch die mit den betreffenden Fahrzeugen stillgelegten Komponenten (S_c, S_d, S_e) für diese Lebensdauerverteilungen außer Acht gelassen werden, liegt die erhaltene kumulierte Lebensdauerverteilung F₃(t) unterhalb einer tatsächlichen Lebensdauerverteilung F₃⁰(t). Unter der tatsächlichen Lebensdauerverteilung F⁰(t) soll hier diejenige Lebensdauerverteilung verstanden werden, die man bei über den Beobachtungszeitraum unverändertem Bestand an Einrichtungen erhält. Die kumulierte Lebensdauerverteilung F₃(t) bildet, da sie nur die bei abnehmendem Bestand stattgefundenen Ausfälle berücksichtigt, den unteren Grenzwert für die tatsächliche Lebensdauerverteilung F₃⁰(t). Eine Bestimmung der Ausfallsrate λ(t) auf der Basis der kumulierten Lebensdauerverteilung F₃(t) würde eine zu geringe Ausfallsrate λ(t) ergeben, da die zu erwartenden Ausfälle bei den stillgelegten Komponenten nicht berücksichtigt werden.

Eine obere Grenze für die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung F₃⁰(t) erhält man dann, wenn die im Beobachtungszeitraum nicht ausgefallenen, jedoch stillgelegten Komponenten (S_c, S_d, S_e) bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung jeweils so berücksichtigt werden, als wären sie zum Zeitpunkt ihrer Stillegung gemäß der Ausmusterungskurve f_end(t) bzw. zum Ende des Beobachtungszeitraums B_E ausgefallen (mit Kreuzen markierte Punkte). Die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung F₃⁰(t) verläuft also zwischen der unteren Grenze F₃(t) und der oberen Grenze F₃'(t), wie in Fig. 5 beispielhaft angedeutet.

Sie kann mit Hilfe der folgenden Schätzformel bestimmt werden:$${\text{F}}^{\text{0}}\text{(t) =}\frac{\text{A(t) - B(t)}}{\text{1 - C(t)}}$$ wobei$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{}\text{(4)}\text{A(t) =}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t}} \text{a(i)}\end{array}\\ \begin{array}{}\text{(5)}\text{B(t) =}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t-1}} \text{b(i) · β(i)}\end{array}\\ \begin{array}{}\text{(6)}\text{C(t) =}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t-1}} \text{b(i) · γ(i)}\end{array}\end{array}\end{array}$$

Dabei ist A(t) die Anzahl aller bis zum Zeitpunkt t ausgefallenen Komponenten.

B(t) ist ein erster Korrekturfaktor, in den die ermittelte Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein erster Term β(i) eingeht. C(t) ist ein zweiter Korrekturfaktor, in den ebenfalls die Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein zweiter Term γ(i) eingeht. Für β(i) und γ(i) gelten folgende Beziehungen:$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{}\text{(7)}\text{β(i) =}\frac{\text{F(i)}}{\text{1 - F(i)}}\text{und}\end{array}\\ \begin{array}{}\text{(8)}\text{γ(i) =}\frac{\text{1}}{\text{1 - F(i)}}\text{.}\end{array}\end{array}\end{array}$$

Insgesamt gilt somit:$${\text{F}}^{\text{0}}\text{(t)=}\frac{\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t}} \text{a(i)}\text{-}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t-1}} \text{b(i) ·}\frac{\text{F(i)}}{\text{1 - F(i)}}}{\text{1 -}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{t-1}} \text{b(i) ·}\frac{\text{1}}{\text{1-F(i)}}}$$

Für die Berechnung von f⁰(t) aus F⁰(t) gilt der oben genannte Zusammenhang (Gleichung 2) zwischen f_i(t) und F_i(t).

Vergleicht man die ermittelten Lebensdauerverteilungen (ggf. korrigierte Lebensdauerverteilungen) der einzelnen Ausfälle miteinander, so können prinzipiell zwei Fälle eintreten.

Im ersten Fall haben die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtung im wesentlichen den gleichen Verlauf, d. h. sie sind invariant. Greift man in diesem Zusammenhang wieder das anfangs angesprochene Beispiel der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f auf, so läßt sich dieser Fall dadurch erklären, daß die Komponente S, beispielsweise ein Motor, nach einem Ausfall jeweils durch eine fabrikneue Komponente S, also durch einen fabrikneuen Motor, ersetzt wird. Es ist zu erwarten, daß in diesem Fall die mittlere Lebensdauer der neuen Komponente S derjenigen der ausgefallenen Komponente S entspricht. Für diesen ersten Fall der invarianten Lebensdauerverteilungen läßt sich eine Ausfallsrate λ(t) für die beobachtete Komponente, z. B. S, in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. in den Fahrzeugen a bis f, unter Berücksichtigung der fallenden Bestandsfunktion G(t) bestimmen. Zwischen der Ausfallsrate λ(t) und den durch Differentiation der ermittelten korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilungen F_i⁰(t) nach der Zeit gewonnenen korrigierten Lebensdauerverteilungen f₁⁰(t), f₂⁰(t), usw., allgemein f_i⁰(t), besteht folgender Zusammenhang:$${\text{λ(t) = f}}_{\text{1}}{\text{}}^{\text{0}}\text{(t) +}\int_{\text{0}}^{\text{t}} {\text{λ(t - u) · f}}^{\text{0}}\text{(u) du}\,d$$ wobei u die Integrationsvariable ist und f₂⁰(t)=f₃⁰(t)=...f_i⁰(t) und i ≥ 2.

Somit lassen sich also für eine Vielzahl beobachteter Komponenten auf der Grundlage erfaßter Ausfallsdaten unter Berücksichtigung der Bestandsfunktion, beispielsweise durch numerisches Lösen der Gleichung 9, deren in Zukunft erwarteten Ausfallsraten λ(t) abschätzen. Durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit läßt sich gemäß folgender Beziehung$$\text{M(t)=}\int_{\text{0}}^{\text{t}} \text{λ(x)dx}\,d$$ eine Zahl M(t) von für einen Zeitraum ${\text{Δt=t}}_{\text{2}}{\text{-t}}_{\text{1}}$ zu erwartenden Ausfällen berechnen, die als Grundlage für die Bestimmung zukünftig benötigter Ersatzteile dienen kann.

Im zweiten Fall ändern sich die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente S mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtungen. Derartige Variante Lebensdauerverteilungen können dann auftreten, wenn beispielsweise die beobachtete Komponente S nach einem Ausfall nicht durch eine fabrikneue gleiche Komponente ersetzt wird, sondern lediglich ein oder mehrere defekte Komponententeile ausgetauscht werden und die somit mit den Austauschteilen überholte Komponente S wieder in Betrieb genommen wird. Dies bedeutet, daß sich die Komponente S aus fabrikneuen Komponententeilen und bereits gebrauchten Komponententeilen zusammensetzt. Eine derartige überholte Komponente S weist oftmals eine von einer fabrikneuen Komponente stark abweichende Lebensdauerverteilung auf.

Für das Beispiel des Motors bedeutet dies, daß der ausgefallene Motor durch einen überholten Austauschmotor ersetzt wird, der schon eine gewisse Betriebszeit hinter sich hat und der nach einem Ausfall durch Ersetzen des ausgefallenen Bauteils repariert wurde. Es ist in diesem Fall zu erwarten, daß der überholte Austauschmotor eine andere mittlere Lebensdauer als der fabrikneue Motor hat.

Mit steigender Anzahl der Ausfälle kann beispielsweise ein Absinken der mittleren Lebensdauer der Komponente eintreten, da die Komponententeile "altern", d. h. daß mit zunehmender Betriebszeit die Anzahl der fabrikneuen Komponententeile absinkt. Die mittlere Lebensdauer der Komponenten kann jedoch auch mit der Zeit zunehmen, falls störanfällige Komponententeile nach ihrem Ausfall nach und nach durch robustere Komponententeile ersetzt werden. Ein derartiges Steigen der mittleren Lebensdauer und somit eine Veränderung zweier aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen f_i(t) und f_i+1(t) ist in Fig. 6 dargestellt. Zur Verdeutlichung der Veränderung der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen sind die ersten Momente µ_i und µ_i+1 der beiden dargestellten Verteilungen auf der t-Achse eingetragen. Ferner ist die Differenz Δµ zwischen den beiden Momenten µ_i und µ_i+1 mit Hilfe eines Bemaßungspfeils dargestellt. Auch sind die zweiten Momente σ_i und σ_i+1 näherungsweise eingetragen.

Um den durch den Einsatz überholter Komponenten verursachten Effekt von sich ändernden Lebensdauerverteilungen bei der Abschätzung der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) zu berücksichtigen, wird die, wie oben erläutert, durch den Beobachtungsstartzeitpunkt möglicherweise verfälschte, erste Lebensdauerverteilung f₁(t), d. h. die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum ersten Ausfall, und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung, vorzugsweise die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum zweiten Ausfall f₂(t), bestimmt. Anschließend wird die erste Lebensdauerverteilung f₁(t) in den Laplace-Raum transformiert, so daß man diese in Abhängigkeit von der Laplace-Variablen s erhält. Ferner bestimmt man jeweils das erste Moment und das zweite Moment der vorhandenen Lebensdauerverteilung f₂(t) und ggf. weiterer Lebensdauerverteilungen f₃(t), usw. Mit den so bestimmten Größen läßt sich allgemein die Ausfallsrate λ(s) im Laplace-Raum für große t (d. h. im allgemeinen t ≥ µ_j) nach folgender Beziehung annähern:$${\text{λ(s) = f}}_{\text{1}}\text{(s)}\sum_{=\text{i=1}}^{\text{∞}} \left(\text{exp}\left(\text{- s}\sum_{=\text{j=2}}^{\text{i}} {\text{µ}}_{\text{j}}{\text{+ ½ s}}^{\text{2}}\sum_{=\text{j=2}}^{\text{i}} {\text{σ}}_{\text{j}}^{\text{2}}\right)\right)$$ wobei j den Index der jeweiligen Lebensdauerverteilung bezeichnet. Durch Laplace-Rücktransformation erhält man die Ausfallsrate λ(t).

Fig. 7 zeigt den Verlauf einer Ausfallsrate λ_Δµ=O(t) bei invarianten, d. h. konstanten Lebensdauerverteilungen. Insbesondere bei großen Zeiten zeigt sich, daß sich diese Ausfallsrate asymptotisch einem Grenzwert nähert, der in diesem Beispiel etwa bei 0,75 liegt, und der mit einer strichlierten Geraden angedeutet ist, für welche die folgende Beziehung gilt:

Ferner zeigt Fig. 7 den Verlauf einer weiteren Ausfallsrate λ_{Δµ ≠0}(t), welche typisch für die in Fig. 7 dargestellten varianten Lebensdauerverteilungen f_i(t) und f_i+1(t) ist. Es ist zu erkennen, daß die Funktion für große Zeiten (t > 5) einen angenähert linearen Verlauf annimmt. Unter der Annahme, daß sich die ersten Momente µ und die Quadrate der zweiten Momente σ der sich ändernden Lebensdauerverteilungen linear mit dem Index i der Lebensdauerverteilungen f_i⁰(t) ändern, d. h.$${\text{µ}}_{\text{i}}{\text{= µ - Δµ · i und σ}}_{\text{i}}{}^{\text{2}}{\text{= σ}}^{\text{2}}{\text{- Δσ}}^{\text{2}}\text{· i}$$ läßt sich diese durch die strichpunktierte Gerade λ_A(t) annähern. Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:$$\text{λ(t) ≅}\frac{\text{1}}{\text{µ}}\text{+}\frac{\text{Δµ}}{{\text{µ}}^{\text{3}}}\text{· t -}\frac{\text{Δµ}}{{\text{µ}}^{\text{2}}}\left(\frac{{\text{µ}}_{\text{1}}}{\text{µ}}\text{-}\frac{\text{3}}{\text{2}}\left(\text{1 +}\frac{{\text{σ}}^{\text{2}}}{{\text{µ}}^{\text{2}}}\right)\right)\text{+}\frac{{\text{Δσ}}^{\text{2}}}{{\text{2µ}}^{\text{3}}}$$ wobei µ₁ das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f₁(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f₂(t), Δµ die (konstante) Differenz der ersten Momente µ_i und µ_i+1 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f₂(t) und f₃(t), σ das zweite Moment der weiteren, vorzugsweise zweiten Lebensdauerverteilung f₂(t) und Δσ² die (konstante) Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente, vorzugsweise σ₂ und σ₃ der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f₂(t) und f₃(t) bedeuten.

Durch diese Näherungsformel kann also die Ausfallsrate λ(t) für große Zeiten auf einfache Weise bestimmt werden.

Generell kann durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit gemäß dem oben erwähnten Zusammenhang (Gleichung 10) die in dem vorgesehenen Zeitintervall ${\text{Δt = t}}_{\text{2}}{\text{- t}}_{\text{1}}$ zu erwartende Anzahl von Ausfällen M(Δt) bestimmt werden. Dies ist in Fig. 7 mit einer trapezförmigen Fläche M(t) angedeutet, welche die Anzahl der Ausfälle zwischen den Zeitpunkten t₁=5 und t₂=11 angibt.

Mit einer Prognose auf der Grundlage der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) für die interessierende Komponente in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. einem Fuhrpark oder einer Militärflugzeugstaffel, läßt sich die Lagerhaltung für nötige Ersatzteile optimieren, d. h. Lagerfehlbestände oder Lagerüberbestände bei ausreichend großem Bestand nahezu ausschließen.