Die Erfindung betrifft Zwillingsschraubenrotoren zum achsparallelen Einbau in Verdrängermaschinen für kompressible Medien, mit asymmetrischen Stimprofilen mit exzentrischer Schwerpunktlage sowie mit Umschlingungszahlen ≥ 2 sowie mit abhängig vom Umschlingungswinkel (α) variierender Steigung, welche in einem ersten Teilbereich vom saugseitigen Schraubenende her zunimmt, nach einer Umschlingung bei α = 0 einen Maximalwert erreicht, in einem zweiten Teilbereich abnimmt bis zu einem minimalen Wert und in einem dritten Teilbereich konstant ist.

Aus den Publikationen SE 85331, DE 2434782, DE 2434784 sind innenachsige Schraubenmaschinen mit nicht konstanter Steigung der Schrauben oder variierenden Stirnprofilen bekannt. Der teilweise 1-gängige Innenrotor wird mit Hilfe von Gegengewichten ausgewuchtet. Der hierfür zu betreibende Bauaufwand ist hoch und die Montage aufwendig. Ein weiterer genereller Nachteil gegenüber aussenachsigen Maschinen ist die saugseitige Dichtung, welche nicht eliminiert werden kann.

Ferner werden in den Patentdokumenten DE 2934065, DE 2944714, DE 3332707 und AU 261792 zwei-wellige Verdichter mit schraubenähnlichen Rotoren beschrieben, bei welchen Rotoren und/oder Gehäuse aus axial hintereinander angeordneten Profilscheiben unterschiedlicher Dicke und/oder Kontur zusammengesetzt sind, und solchermassen eine innere Verdichtung bewirken. Da durch den gestuften Aufbau Schadräume und Wirbelzonen entstehen, entsteht ein verminderter Wirkungsgrad gegenüber Schraubenrotoren. Im weiteren sind Probleme bezüglich der Formkonstanz bei der Erwärmung im Betrieb zu erwarten.

Schraubenverdichter mit Ausseneingriff der gegenläufig rotierenden Schraubenrotoren sind durch mehrere Publikationen repräsentiert:

DE 594691 beschreibt einen Schraubenverdichter mit zwei aussen kämmenden, gegenläufigen Rotoren mit veränderlicher Steigung und Gangtiefe sowie Durchmesservariation. Das Profil wird als 1-gängig dargestellt mit Trapezform im Axialschnitt. Hinweise auf Auswuchtung fehlen jedoch.

DE 609405 beschreibt Schraubenpaare mit veränderlicher Steigung und Gangtiefe zum Betrieb von Verdichter und Entspanner in Luftkältemaschinen. Ein spezielles Stirnprofil ist nicht angegeben, wobei der optische Eindruck auf einen 1-gängigen trapezförmigen Axialschnitt hindeutet. Es besteht kein Hinweis auf Auswuchtung, obwohl mit hohen Drehzahlen gearbeitet werden soll.

DE 87 685 beschreibt Schraubenrotoren mit wachsender Steigung. Sie sind für den Einbau in Arbeitsmaschinen für expandierende Gase oder Dämpfe vorgesehen. Sie werden als 1-gängige oder mehrgängige Schrauben ausgestaltet, wobei kein Hinweis auf Auswuchtung besteht.

DE 4 445 958 beschreibt einen Schraubenverdichter mit gegenläufig rotierenden, aussenkämmenden Schraubenelementen, "die vom einen axialen Ende zum davon entfernten zweiten axialen Ende hin kontinuierlich kleiner werden ...". Sie werden in Vakuumpumpen, Motoren oder Gasturbinen verwendet. Das Profil wird als Rechteckprofil dargestellt, wahlweise wird eine Ausführungsform mit einem Trapezgewinde vorgeschlagen. Auch hier besteht kein Hinweis auf eine Auswuchtung.

EP 0697523 beschreibt einen Verdichtertyp mit Schraubenrotoren mit mehrgängigen aussenkämmenden Profilen und kontinuierlicher Änderung der Steigung. Die punktsymmetrischen Profile (S.R.M.-Profile) bewirken direkt eine statische und dynamische Auswuchtung.

In EP 1 070 848 werden schraubenförmige Profilkörper mit variabler Steigung gezeigt, in zweigängiger Ausführung, "... um besser ausgewuchtet werden zu können ...". Der Hinweis auf eine besondere Profilgeometrie fehlt, die Zeichnung zeigt im Axialschnitt ein symmetrisches Rechteckprofil.

In einigen der vorstehenden vorbekannten Dokumente des Standes der Technik variieren die Aussendurchmesser, was zu Problemen bei Fertigung und Montage führt. Allen in den erwähnten Publikationen vorgeschlagenen Lösungen gemeinsam sind die hohen Leckageverluste durch Verwendung ungünstiger Profile: eine axiale Sequenz von gut abgeschotteten Arbeitszellen ist mit solchen Profilen nicht möglich; eine gute innere Verdichtung ist nicht möglich bei kleinen und mittleren Drehzahlen (Blasloch führt zu Vakuumverlusten und Verlusten bezüglich Wirkungsgrad).

Profile mit guter Abschottung sind in den Druckschriften GB 527339 (2-gängig, asymmetrisch), GB 112104, GB 670395, EP0736667, EP0866918 (1-gängig) offenbart.

Gemäss den nachstehenden zwei Publikationen werden 1-gängige Profile mit guter Abschottung verwendet. Ihre Steigung variiert, jedoch werden die Aussendurchmesser konstant gehalten:

DE19530662 offenbart eine Schraubensaugpumpe mit aussenkämmenden Schraubenelementen, "wobei die Steigung der Schraubenelemente kontinuierlich von ihrem Einlassende zu ihrem Auslassende abnimmt, um die Kompression des abzugebenden Gases zu veranlassen". Die Form der Zähne des Schraubenrotors weist eine epitrochoidale und/oder archimedische Kurve auf.

Der Nachteil derartiger Rotoren besteht darin, dass die erreichbare innere Verdichtung mässig ist.

In WO 00/25004 werden Zwillingsschrauben vorgeschlagen, deren Steigungsverlauf nicht monoton, sondern zuerst ansteigend, danach abfallend und zuletzt gleichbleibend ist. Das Stirnprofil ist eingängig und asymmetrisch und weist eine Hohlflanke auf. Der Aussendurchmesser ist konstant, wobei eine Profilvariation möglich ist.

In keiner der beiden vorstehenden Publikationen wird das Problem der Auswuchtung angeschnitten.

In WO 00/47897 werden mehrgängige Zwillings-Förderschrauben mit gleichen asymmetrischen Stirnprofilen mit jeweils einer zykloidenförmigen Hohlflanke offenbart, wobei wahlweise die Steigung oder die Steigung und das Stirnprofil längs der Achse variieren können und "... durch entsprechende Ausbildung der einzelnen Stirnprofilbegrenzungskurven wird Übereinstimmung von Profilschwerpunkt und Drehpunkt erreicht." (= Auswuchtung). Im Schraubeninneren (in den Bereichen der Zähne) sind schraubenförmige Kanäle vorgesehen, die dazu bestimmt sind, von einem Kühlmedium durchströmt zu werden.

Herstellungsbedingt ist das Verhältnis Gangtiefe/Ganghöhe auf Werte c/d < 4 begrenzt, was zur Einschränkung der erzielbaren Kompressionsraten oder zur Bauraumvergrösserung führt. Das Problem verschärft sich mit zunehmender Gangzahl. Ausserdem wächst der Fertigungsaufwand mit zunehmender Gangzahl, so dass prinzipiell 1-gängige Rotoren erwünscht wären, sofern das Problem Auswuchtung dann noch zufriedenstellend gelöst werden kann, und nicht aus anderen Gründen (beispielsweise Rotorkühlung) mehrgängige Rotoren insgesamt vorteilhafter oder erforderlich sind.

In den Dokumenten JP 62291486, WO 97/21925, als nächstliegender Stand der Technik angesehen, und WO 98/11351 werden Verfahren zur Auswuchtung 1-gängiger Rotoren beschrieben, wobei die Steigungen als konstant vorausgesetzt werden. Bei modifizierten Massnahmen können ähnliche Methoden zur Auswuchtung von Rotoren mit variabler Steigung verwendet werden, allerdings unter sehr starker Einschränkung der zulässigen Geometrie, da eine Auswuchtung durch Hohlräume im Guss Zusatzprobleme schafft, die wegen der durch die Steigungsvariation bedingten asymmetrischen Massenverteilung noch grösser werden.

Es ist demzufolge Aufgabe der vorliegenden Erfindung, technische Lösungen zur Auswuchtung von Schraubenrotoren mit veränderlicher Steigung und exzentrischer Lage des Stirnprofilschwerpunktes vorzuschlagen, wobei folgende Forderungen erfüllt werden müssen:

• Verhältnis Gangtiefe/Ganghöhe c/d< 4 (Fertigung)
• Kurze Baulänge (Steifigkeit, Baugrösse)
• 7>Umschlingungszahl ≥ 2 (Fertigung Endvakuum)
• Volumetrischer Wirkungsgrad: möglichst gross (Baugrösse)
• Kompressionsrate möglichst frei wählbar (Temperatur, Energie) zwischen 1,0 ... 10,0
• Stirnprofil: verlustfrei (Energie) Aussendurchmesser = Konstant (Fertigung Montage)
• Werkstoff möglichst frei wählbar (Fertigung, Anwendung).

Die oben genannte Aufgabe wird durch die Merkmale von Anspruch 1 gelöst.

Die sinnvolle Kürzung der spitz auslaufenden Schraubenwendelflanken erfolgt unter Abstimmung mit einer beidseitigen Umschlingungswinkelvergrösserung (µ) und der Steigung. Aussparungen im Bereich der Schraubenstirnflächen kommen als Zusatzmassnahmen für die Auswuchtung zur Anwendung, falls extreme Bedingungen dies erfordern.

Solche Rotoren bieten beste Voraussetzungen für die Reduktion des Energiebedarfs, der Temperatur, der Baugrösse und der Kosten, sowie für eine freie Werkstoffwahl mit Anwendung in Chemie und Halbleitertechnik. Die nachstehenden Berechnungen stellen die theoretischen Grundlagen dar, welche zeigen, dass ein Schraubenrotor gemäss der vorliegenden Erfindung die Bedingung der Auswuchtung auf Grund seiner Form erfüllt.

Besondere Ausführungsarten der erfindungsgemässen Zwillingsschraubenrotoren sind in den abhängigen Ansprüchen umschrieben.

Nachstehend wird die Erfindung unter Bezugnahme auf die Zeichnungen beispielhaft dargelegt. Es zeigen:

• Fig. 1 einen Satz von eingängigen Zwillingsschraubenrotoren in einem ersten Ausführungsbeispiel gemäss der Erfindung in einer Ansicht von vorne,
• Fig. 2 den Satz von Zwillingsschraubenrotoren der Figur 1 in einer stirnseitigen Ansicht,
• Fig. 3 den rechtsgängigen Schraubenrotor in einem axialen Schnitt gemäss der Linie A - A von Fig. 2.,
• Fig. 4 den rechtsgängigen Schraubenrotor von Figur 1 in einer Ansicht von vorne sowie die zugehörige Abwicklung der Stirnprofilschwerpunkt-Ortskurve, welche die Abhängigkeit der Axialposition (w) vom Umschlingungswinkel (α) zeigt,
• Fig. 5 die Änderungen der Axialposition (w') in Abhängigkeit vom Umschlingungswinkel (α), welche proportional der dynamischen Steigung verläuft gemäss L_dyn = 2π · w',
• Fig. 6 die spiralige Stirnprofilschwerpunkt-Ortskurve eines erfindungsgemässen rechtsgängigen Schraubenrotors mit einer Umschlingungszahl von K=4 in einer perspektivischen Darstellung,
• Fig. 7 die Querschnittswerte einer abgeschlossenen Kammer in Abhängigkeit vom Winkel (α_o) der geometrischen Referenzspirale sowie vom Drehwinkel (θ),
• Fig. 8 den Kompressionsverlauf in Abhängigkeit vom Drehwinkel (θ),
• Fig. 9 den symmetrischen Verlauf einzelner Teilfunktionen der Steigung und Auswuchtungsberechnung,
• Fig. 10 ein Blockdiagramm mit Einflussgrössen und Zusammenhängen bei der Rotordimensionierung,
• Fig. 11 einen Satz von Zwillingsschraubenrotoren gemäss einem weiteren Ausführungsbeispiel der Erfindung in einer Ansicht von vorne,
• Fig. 12 den Satz von Zwillingsschraubenrotoren von Figur 11 in einer stirnseitigen Ansicht,
• Fig. 13 den allgemeinsten Fall eines Steigungsverlaufs gemäss der Erfindung,
• Fig. 14 einen möglichen Steigungsverlauf eines Paares von Zwillingsschraubenrotoren gemäss Figur 11,
• Fig. 15 eine zusätzliche Variationsmöglichkeit des Steigungsverlaufs,
• Fig. 16 einen Satz von zweigängigen Zwillingsschraubenrotoren gemäss einem weiteren Ausführungsbeispiel der Erfindung in einer Ansicht von vorne,
• Fig. 17 das Schraubenpaar von Figur 16 in einer stirnseitigen Ansicht von der Druckseite her gesehen,
• Fig. 18 das Schraubenpaar von Figur 16 in einer stirnseitigen Ansicht von der Saugseite her gesehen, und
• Fig. 19 das Schraubenpaar von Figur 16 in einem axialen Schnitt gemäss der Linie B - B von Fig. 17.

Vorerst werden die für die Berechnung erforderlichen Symbole angegeben. Die entsprechenden Einheiten sind in eckigen Klammern angegeben. j = Umschlingungszahl des Bereichs T₂ (abnehmende Steigung) [-] K = Umschlingungszahl [-] Δα = Totalumschlingungswinkel der Schwerpunktspirale = K·2π [Rad] α = aktueller Umschlingungswinkel der Schwerpunktspirale = Parameter [Rad] α₀= aktueller Umschlingungswinkel der geometrischen Bezugs-spirale (Hohlflankenfuss) [Rad] U, V, W = rechtwinkliges Koordinatensystem [cm, cm, cm] U-Achse = Bezugsrichtung W-Achse = Rotationsachse identisch geometrischer Mittelachse w = w <α> = Axialposition [cm] ${\mathrm{w}}^{\prime }=\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{\alpha }}=\mathrm{Änderung\; der\; Axialposition}$ [cm/Rad] "Steigung": allgemeine Definition: Axialfortschritt während 1. Umdrehung L₀ = mittlere Steigung = konstant ⇒ w <α> = L₀ · α / 2π [cm] oder ${\mathrm{L}}_0=2\mathrm{\pi }\cdot \frac{\mathrm{w}}{\mathrm{\alpha }}$ $\mathrm{dynamische\; Steigung}={\mathrm{L}}_{\mathrm{dyn}}=2\mathrm{\pi }\mathrm{.}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{\alpha }}=2\mathrm{\pi }{\mathrm{w}}^{\prime }\Rightarrow {\mathrm{L}}_{\mathrm{dyn}}\sim {\mathrm{w}}^{\prime }$ [cm] L₁, L₂ mittlere Steigungen der Bereiche T₁, T₂ [cm] g <w> = f<w> · r<w> [cm³] f <w> = Rotorstirnschnittfläche als Funktion von w [cm²] r <w> = Schwerpunktmittenabstand als Funktion von w [cm] θ = Rotordrehwinkel = 2πt/T [Rad] $\dot{\mathrm{\theta }}=\frac{\partial \mathrm{\theta }}{\partial \mathrm{t}}=\mathrm{\omega }=2\mathrm{\pi }/\mathrm{T}=\mathrm{Rotordrehzahl}$ [Rad/sec] π = Kreiszahl = 3,1415... [-] T = Umlaufzeit [sec] t = Zeit [sec] τ = γ/b [g·sec²/cm⁴] y = spezifisches Gewicht [g/cm³] b = Erdbeschleunigung = 981 [cm/sec²] P_u, P_v = Kraftkomponenten M_v,w, M_u,w = Momentkomponenten µ = Umschlingungswinkelvergrösserung [Rad] η = relativer Positionswinkel des Auswuchtvolumens [Rad] Q = g_Q · r_Q Trägheitsmoment [cm⁴] g_Q = Auswuchtvolumen [cm³] r_Q = Schwerpunktmittenabstand des Auswuchtvolumens [cm]

Allgemein gilt: Profil konstant ⇒ g<w> = konst. = go

Umschlingungszahl ganzzahlig K = 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...

Der allgemeinste Fall eines Steigungsverlaufs, der eine Auswuchtung bewirkt im Sinne der Erfindung ist in Fig. 13 dargestellt:

1. 1. Steigung am saugseitigen Ende ist nicht gleich der Steigung am druckseitigen Ende. (L₁·(1-A) ≠ L₂·(1-B)).
2. 2. Der Bereich T₂ der abnehmenden Steigung erstreckt sich über j Umschlingungen. j = 1, 2, 3, ....

Es lassen sich Funktionen w'<α> finden, die in Abstimmung mit A, B, L₁ und L₂ aus den Gleichungen (1), (2), (3), (4) für alle 4 Teilkomponenten den Wert "0" ergeben, was bedeutet, dass damit statische und dynamische Auswuchtung erreicht ist.

Für die hier spezielle Anwendung i. e. Schraubenrotoren zum Einbau in Verdrängermaschinen für kompressible Medien, lassen sich indes keine Vorteile für j>1 und ungleiche Steigungen an den Schraubenenden finden, so dass für die weiteren Berechnungen der erläuterten Ausführungsbeispiele folgende Vereinfachungen getroffen werden:

• T₂ = spiegelbildlich zu T₁; Spiegelachse ≡ α = 0 ⇒
  1. 1) L₁ = L₂ = L₀
  2. 2) B = A
  3. 3) j = 1 vergleiche Figuren 5 und 9

Bei einem Mittelwert von w'<-π> = w'<+π> = L₀/2π (entspricht der Steigung L₀) und einer Schwankung ±A·100% ⇒ w'_max = L₀(1+A)/2π W'_min = L₀(1-A)/2π

Die Berechnung nach einschlägig bekannten Methoden liefert hiermit aus (1), (2), (3), (4): $$\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{u}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{w}\mathrm{<}\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{>}\mathrm{+}\mathrm{2}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{wʹ}\mathrm{<}\mathrm{\alpha }\mathrm{>}\left({\cos }^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d\alpha }$$ $$\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{v}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\mathrm{2}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{wʺ}\mathrm{<}\mathrm{\alpha }\mathrm{>}\left({\cos }^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d\alpha }$$ $$\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\mathrm{-}\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right){{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{/}\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{+}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{w}\mathrm{<}\mathrm{\alpha }\mathrm{>}\mathrm{wʹ}\mathrm{<}\mathrm{\alpha }\mathrm{>}\mathrm{sin\alpha d\alpha }$$ $$\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{w}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{w}\mathrm{<}\mathrm{\alpha }\mathrm{>}\mathrm{wʹ}\mathrm{<}\mathrm{\alpha }\mathrm{>}\mathrm{cos\alpha d\alpha }$$

Zur Vereinfachung der weiteren Berechnung wird die Funktion h = h <α> eingeführt, so dass: $$\mathrm{w}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\left(\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{h}\right)$$ $$\mathrm{wʹ}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\left(\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{hʹ}\right)$$ $$\mathrm{wʹʹ}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\mathrm{hʹʹ}$$
zeichnerische Darstellung siehe Figur 9.

Die mathematisch formulierten Symmetrieeigenschaften eines Schraubenrotors gemäss der Erfindung lauten:

h<-α> = -h<α> (a₁) h'<-α> = +h'<α> (a₂) h"<-α> = -h"<α> (a₃) h<2π-α> = h<α> (b₁) h'<2π-α> = -h'<α> (b₂) h"<2π-α> = h"<α> (b₃) h_max = h<π> = (je nach Funktion) h'<0> = A = h'_max h_min = h<-π> = -(h_max) h'<2π> = -A = h'_min

(-α)(h<-α>)cos<-α> = α(h<α>)cos<α> (e) ⇒ Funktion symmetrisch zu α = 0 (h<-α>)(h'<-α>)sin<-α> = h<α> h'<α> sin<α> (f) ⇒ Funktion symm. zu α= 0

Aus (1a), (2a), (3a), (4a) folgt somit: $$\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{u}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{\pi }}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{hʹ}{\cos }^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\mathrm{d\alpha }\mathrm{=}\mathrm{0}\left(\mathrm{wegen\; Symmetrie\; zu\; \alpha }\mathrm{=}\mathrm{\pi }\mathrm{;}\mathrm{\alpha }\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{\pi }\right)$$ $$\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{v}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{\pi }}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{hʹʹ}{\cos }^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\mathrm{d\alpha }\mathrm{=}\mathrm{0}\left(\mathrm{wegen\; Symmetrie}\right)$$ $$\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\mathrm{-}\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right){{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{/}\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{+}{\left(\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\right)}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\pi }\mathrm{-}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{h}\mathrm{\cdot }\mathrm{\alpha }\mathrm{\cdot }\mathrm{cos\alpha d\alpha }\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\mathrm{cos\; \alpha \; d\alpha }\right)$$ $$\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{w}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}{\left(\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\right)}^{\mathrm{2}}\left(\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{h}\mathrm{\cdot }\mathrm{\alpha }\mathrm{\cdot }\mathrm{sin\alpha d\alpha }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\mathrm{sin\; \alpha \; d\alpha }\right)=0\left(\mathrm{wegen\; Symmetrie}\right)$$

Die einzige Grösse, die nicht allein durch die Fixierung der Symmetrieeigenschaften und des Umschlingungswinkels verschwindet, ist M_v,w, was aber zur 100%igen Auswuchtung erforderlich ist. ⇒ $$\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right){\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\right)\mathrm{=}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{h}\mathrm{\cdot }\mathrm{\alpha }\mathrm{\cdot }\mathrm{cos\; \alpha \; d\alpha }\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\mathrm{cos\; \alpha \; d\alpha }$$

Die Funktion h = h <α> ist unter Einhaltung der oben stehenden Symmetrieeigenschaften und Randbedingungen beliebig wählbar. Nach ihrer Bestimmung kann A aus (*) allgemein berechnet werden.

Entsprechend den in den Zeichnungen dargestellten Ausführungsbeispielen ist $$\mathrm{h}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{A}\mathrm{\cdot }\sin \frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\mathrm{\Rightarrow }$$ $$\left(\mathrm{3}\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{9}\right){\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\left(\mathrm{3}\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right)\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{K}\mathrm{=}\mathrm{0}$$ $$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{=}\left(\mathrm{3}\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{-}\sqrt{\mathrm{15}\mathrm{K}\mathrm{+}\mathrm{4}}\right)\mathrm{/}\left(\mathrm{3}\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{9}\right)& \mathrm{für\; K}\mathrm{\ne }\mathrm{3}\end{array}$$ $$\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{3}\mathrm{K}\mathrm{/}\left(\mathrm{6}\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{4}\right)\mathrm{=}\mathrm{9}\mathrm{/}\mathrm{14}$$

Für variierende Umschlingungszahlen K ergeben sich somit unterschiedliche Werte A, mit welchen wiederum die Verdichtungsrate variiert.

Nachstehende Tabelle zeigt einige Zahlenwerte: Umschlingungszahl K 2 3 4 5 6 7 Amplitude A 0,6103 0,6429 0,6666... 0,6853 0,7005 0,7133 Verdichtungsrate V_d 1,0 2,552 4,0 4,2665 4,509 4,732

Für andere Funktionen h = h <α> erhält man unterschiedliche Werte für A und V_d. So erlaubt beispielsweise die Funktion $\mathrm{h}\mathrm{=}\mathrm{A}\mathrm{\cdot }\left(\sin \frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{D}\mathrm{\cdot }{\left({\left(\sin \frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{n}}\right)$eine Variation des Faktors D, wodurch unter

Beibehaltung der Symmetrieeigenschaften sowie der Anschlusspunkte und der Minimal / Maximalwerte der Steigungsverlauf im Detail und als Folge wahlweise A oder V_d variabel sind (Figur 15).

Für Anwendungen, die grosse Umschlingungszahlen K aber nur geringe Verdichtungsraten V_d erfordern, ist auch unter Ausschöpfung der extremen Variation des Steigungsverlaufs die Forderung M_V,W/τω² = 0 nicht mehr ohne weitere Zusatzmassnahmen realisierbar. Generell und formelmässig lassen sich die hierbei zur Anwendung kommenden Massnahmen in einer Form definieren, die auch für die oben erwähnten Kürzungskorrekturen der spitz auslaufenden Schraubenwendelflanken gilt.

Massnahme 1:

Zusatzwerte durch beidseitige Umschlingungswinkelvergrösse- rung µ.

Massnahme 2:

Korrektur durch Entfernen (Anbringen) von Material in den bei- den Axialpositionen der Schraubenenden; zwei gleiche Werte (Q[cm⁴]); Positionen der Schwerpunkte SQ₁, SQ₂ = winkelsym- metrisch (±(µ+η)) zur U - W - Ebene.

Allgemein gilt für die vier stat. Grössen $\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{U}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}},\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{V}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}},\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{V}\mathrm{,}\mathrm{W}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}},\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{U}\mathrm{,}\mathrm{W}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}}$:
Faktor·{[Grundwert] + [Zusatzwert] - [Korrekturwert]} = 0

Für die Komponente im Detail ⇒ $$\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{U}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}}\mathrm{\Rightarrow }\left\{\left[\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{hʹ}{\cos }^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{2}}\mathrm{d\alpha }\right]\mathrm{+}\left[\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)\mathrm{sin\mu }\right]\mathrm{-}\left[\frac{\mathrm{Q}}{{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}\left(\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\right)}\cos \left(\mathrm{\mu }\mathrm{+}\mathrm{\eta }\right)\right]\right\}\mathrm{=}\mathrm{0}$$ $$\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{v}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}}\Rightarrow 0+0-0=0\left(\mathrm{trivial}\right)$$ $$\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{V}\mathrm{,}\mathrm{W}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}}\mathrm{\Rightarrow }\left\{\left[\mathrm{-}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right){\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\right)+\underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}\mathrm{h}\mathrm{\cdot }\mathrm{\alpha }\mathrm{\cdot }\mathrm{cos\; \alpha \; d\alpha }\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\cdot \underset{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{\int }}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\mathrm{cos\; \alpha \; d\alpha }}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{A}\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right)\right)}\right]\mathrm{+}\left[\frac{\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)\left(\mathrm{sin\mu }\mathrm{-}\mathrm{\mu cos\mu }\right)\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right)\mathrm{A}\right)\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{cos\mu }\right)\right)}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{A}\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right)\right)}\right]\mathrm{-}\left[\frac{\mathrm{Q}}{{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}\left(\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\right)}\sin \left(\mathrm{\mu }\mathrm{+}\mathrm{\eta }\right)\right]\right\}\mathrm{=}\mathrm{0}$$ $$\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{U}\mathrm{,}\mathrm{W}}}{{\mathrm{\tau \omega }}^{\mathrm{2}}}\mathrm{\Rightarrow }\left(\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{2}\right)\mathrm{\cdot }\left\{\left[\mathrm{0}\right]\mathrm{+}\left[\left(\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\right)\mathrm{sin\mu }\right]\mathrm{-}\left[\frac{\mathrm{Q}}{{\mathrm{g}}_{\mathrm{0}}\left(\frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\right)}\cos \left(\mathrm{\mu }\mathrm{+}\mathrm{\eta }\right)\right]\right\}\mathrm{=}\mathrm{0}$$

Aus Symmetrie des Steigungsverlaufs in α = -π, α = +π (Gleichungen (b₁), (b₂), (b₃)) ⇒ (1b), so dass die Gleichungen (1c) und (4c) identisch werden. Aus dem Gleichungssystem der beiden Gleichungen (1c) und (3c) (Gleichung (2c) ist trivial) erhält man nach der Variablentrennung:

• Q_soll = Q<K, A, µ> sowie η_soll = η<K, A, µ>
  Hier ist µ noch frei variierbar.

Da nicht beliebig überall Material entfernt oder angebracht werden kann, ergibt sich insbesondere im Fall der Kürzungskorrekturen der spitz auslaufenden Schraubenwendelflanken eine Abhängigkeit Q = Q<η> η = η<Q>, so dass die Werte η, µ, Q bestimmt sind. Imaginäre Lösungen erfordern eine Nachkorrektur des Wertes A.

Für Kurzschrauben (K = 2) ist Gleichung (4c) für alle η, µ, Q erfüllt. Somit entfällt in diesem Fall der Zwang, (4c) ≡ (1 c) zu erreichen. Weiter folgt daraus, dass (1 b) zwar möglich, aber nicht zwangsläufig erforderlich ist, das heisst, die Gleichungen (b₁), (b₂), (b₃) (= Symmetrie in α = -π; α = +π) sind für K = 2 kein Zwang (Figur 14).

Bei nicht konstanten Stirnprofilen wird die Berechnung aufwendiger: Die geometrische Bezugsspirale am Hohlflankenfuss korrespondiert nicht mehr mit der Schwerpunktspirale, was letztlich Folgen quer durch alle Formeln hat.

Fig. 1 zeigt eine Darstellung eines ersten Ausführungsbeispiels der Zwillingsschraubenrotoren 1 und 1', wobei sich die Achsen 2 und 2' in der Zeichnungsebene befinden. Die beiden Rotoren 1 und 1' sind zylindrisch ausgebildet und weisen Gewindewendeln 3 und 3' auf, die einen konstanten Aussendurchmesser definieren, der durch die Mantelflächen 6 und 6' begrenzt wird. Die Zwillingsrotoren sind parallel in solcher Weise angeordnet, dass die Gewindewendeln kämmend ineinander eingreifen. Die Mantelflächen 6 bzw. 6' der Rotoren, welche bei der Rotation zwei parallele sich schneidende Zylinderflächen beschreiben, bewegen sich angrenzend an das Gehäuse 9 (dargestellt in Fig. 2). Innerhalb des Gehäuses 9 wird zwischen den Kernzylinderflächen 5, 5' den Flanken 4, 4' und der Gehäusewand 10 eine Sequenz von Kammern definiert, welche sich bei der gegenläufigen Rotation der Rotoren vom einen axialen Ende zum andern bewegt, wobei sich das Kammervolumen in Abhängigkeit vom Drehwinkel und vom Steigungsverlauf verändert: in der Ansaugphase vergrössert sich das Volumen bis zu einem maximalen Wert, dann in der Kompressionsphase wird das Volumen reduziert und schliesslich wird nach dem Öffnen der Kammer bei der Ausstossphase das Volumen bis null reduziert. Die Stirnseiten der Rotoren sind auf der Ansaugseite mit 7 und 7' und auf der Ausstossseite mit 8 und 8' bezeichnet.

Fig. 2 zeigt eine Ansicht der Stirnseiten der Zwillingsrotoren auf der Ausstossseite (Ansicht von oben in Fig. 1). Die Darstellung zeigt eine Projektion von zwei sich schneidenden parallelen Zylindern. 2 und 2' stellen die parallelen Drehachsen der Rotoren 1 und 1' dar. Die Flanken sind mit 4 und 4' bezeichnet, während 8 und 8' die angrenzenden Stirnseiten sind, welche die Rotoren in der Längsrichtung abgrenzen. 5 und 5' sind die Kernzylinderflächen der Rotoren, die einen konstanten Durchmesser aufweisen. In einer Verdrängermaschine sind die Rotoren in ein Gehäuse 9 mit einer Innenwand 10 eingebaut; für den berührungsfreien Betrieb solcher Maschinen betragen die Spaltenhöhen zwischen den beiden Rotoren sowie zwischen den Rotoren und der Innenwand 10 jeweils ca. 1/10 mm. Die Ebene A - A ist eine Schnittebene, die einen Längsschnitt des Rotors gemäss Fig. 3 definiert.

Fig. 3 ist die erwähnte Längsschnittdarstellung durch die Ebene A - A von Fig. 2. Die Bezugszeichen entsprechen denjenigen der Fig. 1 und 2. Die Drehachse ist hier mit W bezeichnet (2' in Fig. 1 und 2). W und U gehören zum Koordinatensystem U,V,W, welches für die Berechnungen verwendet wurde. Der Nullpunkt des Koordinatensystems befindet sich an derjenigen Stelle der Achse W, wo die Steigung einen maximalen Wert aufweist (Wendepunkt im Diagramm Figur 4, w<α>). Die Gangtiefe c ist konstant, während die Ganghöhe d, abhängig von der Steigung der Wendel, variabel ist.

Fig. 4 zeigt den rechtsgängigen Schraubenrotor in einer Ansicht von vorne entsprechend dem rechts positionierten Rotor von Fig. 1, sowie die zugehörige Abwicklung der Stirnprofilschwerpunkt-Ortskurve, welche die Abhängigkeit der Axialposition (w) vom Umschlingungswinkel (α) darstellt. Da der Querschnitt des Schraubenrotors unabhängig von der Steigung der Wendel konstant ist, unterscheiden sich die Querschnitte über die gesamte Länge des Rotors einzig durch die Winkelposition α bezüglich der U-Achse. Der Schwerpunkt der Querschnitte ist im weiteren nicht mit der Achsposition W identisch, sondern ist in konstanten Abstand r₀ positioniert. Deshalb beschreibt der gemeinsame Ort aller Schwerpunkte der Querschnitte eine Spirallinie (vgl. Fig. 6) mit einer Steigung entsprechend derjenigen der Umschlingung des Rotors. Aus dem Diagramm mit deren Abwicklung ist ersichtlich, dass die Steigung der Spirale während der ersten Umschlingung von Position -2π stetig zunimmt, bis zum Wendepunkt, bei Position 0, wonach die Steigung bis zum Ende der zweiten Umschlingung bis zur Position 2π stetig abnimmt, und schliesslich bis zur Position 6π konstant bleibt.

Fig. 5 stellt die Änderungen der Axialposition (w') in Abhängigkeit vom Umschlingungswinkel (α) dar, welche proportional der dynamischen Steigung verläuft gemäss L_dyn = 2π·w'. Hier sind die Spiegelsymmetrie zu α=0 sowie die Punktsymmetrien zu S₁ bei α = -π und S₂ bei α= +π im Bereich -2π bis +2π ersichtlich, welche für die Behebung der Unwucht der Rotoren erfindungswesentliche Merkmale darstellen.

Fig. 6 zeigt die spiralige Stirnprofilschwerpunkt-Ortskurve eines erfindungsgemässen rechtsgängigen Schraubenrotors mit einer Umschlingungszahl von K=4 in einer perspektivischen Darstellung entsprechend der Abwicklung gemäss Fig. 4. Die angegebenen Symbole entsprechen den Definitionen, die an früherer Stelle für die Berechnungen angegeben sind. Zusätzlich sind oben und unten die Umschlingungswinkelvergrösserung µ und der relative Positionswinkel η des Auswuchtvolumens g_Q eingezeichnet.

Fig. 7 ist ein Diagramm, das die Querschnittswerte (Fläche F) einer abgeschlossenen Kammer in Abhängigkeit vom Winkel (α₀) der geometrischen Referenzspirale sowie vom Drehwinkel (θ) zeigt.

Fig. 8 ist ein Diagramm, das den Kompressionsverlauf (% des Anfangsvolumens) in einer abgeschlossenen Kammer in Abhängigkeit vom Drehwinkel (θ) darstellt.

Fig. 9 zeigt den symmetrischen Verlauf einzelner Teilfunktionen der Steigung und Auswuchtungsberechnung (cosα, sinα, h<α> , h'<α>, h"<α>). Bezüglich der Bedeutung der Symbole wird auf die Berechnungen und die entsprechenden Definitionen in dieser Beschreibung verwiesen.

Die Figuren 11 und 12 zeigen ein weiteres Ausführungsbeispiel in der Form eines Paares von Kurzschrauben mit einer Umschlingungszahl K = 2 (sowie mit einer Reduktion des Teilbereichs T₃ auf "Null"). Für gleiche Teile wurden die gleichen Bezugszahlen verwendet wie in den Figuren 1 und 2. Bei diesen Schrauben fallen die Zeitpunkte des Schliessens gegen die Saugseite und des Öffnens zur Druckseite für die zentrale, komplett gebildete Kammer zusammen, so dass eine derart ausgestattete Verdrängermaschine isochor arbeitet. Der Zeitpunkt des Öffnens zur Druckseite kann durch eine stirnseitige Endplatte 11 mit einer Austrittsöffnung 12, die durch den Rotor 1 verschlossen und freigegeben wird, verzögert werden, wie dies aus dem Stand der Technik bekannt ist. Somit kann auch bei diesem Ausführungsbeispiel eine innere Verdichtung realisiert werden.

In einer Untervariante des zweiten Ausführungsbeispiels sind die Kurzschrauben (Figuren 11, 12) gemäss einem Steigungsverlauf von Figur 14 ausgebildet, der bezüglich α=0 in den Bereichen T₁ und T₂ ebenfalls symmetrisch verläuft, jedoch von dem in Zusammenhang mit Figur 5 erläuterten Verlauf dahingehend abweicht, dass hier die genannten Punktsymmetrien nicht vorhanden sind.

Die Figuren 16 bis 19 zeigen als weiteres Ausführungsbeispiel der Erfindung einen Rotorsatz mit zweigängigen, asymmetrischen Stirnprofilen mit exzentrischer Schwerpunktlage und einer Umschlingungszahl K = 4. Verlängerung des Umschlingungswinkels beidseitig ( $\mathrm{\mu }\mathrm{=}\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}$ ). Das Profil ist an jeder Stirnseite an je zwei spitz auslaufenden Schraubenwendelflanken korrigiert, indem dort Material abgetragen wurde. Die Bezugszahl 13' in Figur 16 bezeichnet eine solchermassen bearbeitete Fläche. Die grosse Rotoroberfläche, hier durch Mehrgängigkeit und grosse Umschlingungszahl realisiert sowie koaxiale Zylinderbohrungen (14, 14') in den Rotoren (1, 1'), durch welche ein Kühlmittel strömt, schaffen hier die Voraussetzungen für spezielle Einsatzfälle in Verdrängerpumpen für die Chemie, bei welchen tiefe Gastemperaturen gefordert werden. Der Steigungsverlauf ist ähnlich wie beim ersten der beschriebenen Ausführungsbeispiele, wobei hier anwendungsbedingt abweichend A = 0,4 mit V_d = 2,0 ist. Die Werte Q und η in den Formeln (1 c), (3c) und (4c) setzen sich zusammen, weil bei den zweigängigen Schrauben an jedem Ende an zwei Stellen 13' Material entfernt wurde.

Fig. 10 zeigt ein Blockdiagramm, das Einflussgrössen und Zusammenhänge darstellt, die bei der Rotordimensionierung von Bedeutung sind.