Domaine technique
[0001] La présente invention concerne un procédé de formation d'un objet plat tel qu'une
tôle avec un matériau ayant une structure à grains ultrafins.
[0002] Dans la description ci-dessous, les références entre crochets ([ ]) renvoient à la
liste des références présentée à la fin du texte.
État de la technique
[0003] La possibilité de produire des objets avec un matériau métallique à grains ultrafins
est bien établie avec des méthodes de déformation plastique sévère telles que l'extrusion
angulaire à section égale, la déformation multiaxes, l'extrusion-torsion, la torsion
haute pression ou le laminage multipasses. La réduction de la taille des grains à
des tailles sub-micromètriques ou nanométriques a pour effet de conférer au matériau
métallique une haute limite élastique, une ductilité satisfaisante, une bonne résistance
à la fatigue, aux basses températures et à l'usure. Ceci a été observé avec de nombreux
métaux ou alliages métalliques, que ce soit des aciers, des alliages à base de titane,
d'aluminium, de magnésium ou de lithium.
[0004] Lors de la mise en oeuvre d'une déformation plastique sévère, des changements microstructurels
sont induits par des déformations plastiques très importantes imposées à un échantillon,
d'un facteur souvent supérieur à 3.
[0005] La méthode la plus courante est celle du laminage [1]. Elle nécessite de réaliser
de nombreuses passes successives, chacune réduisant l'épaisseur totale une tôle. Ce
procédé est long à mettre en oeuvre ou nécessite des installations coûteuses et encombrantes.
Les mêmes remarques s'appliquent à un procédé apparenté de colaminage cumulatif (accumulated
roll bonding en anglais) détaillé dans le document [2].
[0006] Une autre technique permettant de travailler sur de plus petits échantillons est
une technique d'extrusion angulaire à section constante dans laquelle un échantillon
est forcé à travers une matrice comportant un canal en angle, par exemple en angle
droit. Cette technique, correspondant au préambule de la revendication principale,
nécessite de mettre en oeuvre des forces très importantes et rend la conception et
la fabrication de la matrice très délicate. Les références [3], qui représente l'état
de la technique le plus proche de la revendication 1, [4] et [5] sont des documents
qui exposent cette méthode.
[0007] Dans une variante de cette méthode montrée dans le document [6], l'échantillon est
plaqué contre une paroi rugueuse et entraîné en rotation jusqu'à une paroi formant
butée où il subit une déformation en étant repoussé radialement.
[0008] Un procédé de cisaillement continu est montré par les publications [7] et [8] dans
lequel un matériau en bande continu est forcé par une paire de rouleaux dans une matrice
avec une sortie latérale.
[0009] Dans le procédé du document [9], une bande continue est soumise répétitivement à
des déformations ondulées puis à des redressements.
[0010] Le document [10] propose une méthode dans laquelle une partie d'une pièce d'origine
est découpée en surface et canalisée dans un espace radial. Une telle méthode ne permet
pas de contrôler la pression statique sur le matériau et des fissures peuvent se créer
le long de plans de glissement.
[0011] Le document [11] montre un procédé d'extrusion dont la sortie n'est pas symétrique.
Un tel procédé ne permet pas d'atteindre de hauts niveaux de déformation.
Description de l'invention
[0012] L'invention vise à proposer un procédé de production de pièces ayant une microstructure
à grains ultrafins, obtenue par déformation plastique sévère, qui soit rapide à mettre
en oeuvre et pouvant être mis en oeuvre avec des efforts modérés.
[0013] Avec ces objectifs en vue, l'invention a pour objet un procédé de formation d'une
pièce dans lequel un matériau métallique subit une déformation plastique sévère afin
de lui conférer une structure à grains ultrafins, dans lequel on introduit une barre
dudit matériau dans une matrice selon une direction d'introduction, la matrice comportant
une zone d'entrée avec une section en concordance avec la section de la barre et une
zone de sortie, la zone de sortie étant orientée dans une direction de sortie latérale
par rapport à la direction d'introduction pour extraire le matériau transformé, le
procédé étant caractérisé en ce que, la matrice comportant une zone d'extrusion ayant
la même direction que la zone d'entrée et de dimension moindre que la zone d'entrée
dans la direction de sortie dans un rapport compris entre 0,75 et 1 exclu, une zone
de transition comportant une face de transition en aval de la zone de sortie et effectuant
la transition entre la zone d'entrée et la zone d'extrusion, on extrude la barre à
travers la zone d'extrusion, la face de transition créant une pression pour pousser
une partie du matériau à travers la zone de sortie et extraire le matériau transformé
en forme de tôle.
[0014] Le procédé selon l'invention permet d'obtenir un produit très fin même en partant
d'une barre de section importante. Pour autant, les efforts à fournir sont relativement
limités puisqu'il n'est pas nécessaire de déformer l'ensemble de la section de la
barre, mais uniquement une partie. Par ailleurs les déformations obtenues sont d'une
grande ampleur, de telle sorte que la tôle obtenue n'a pas besoin d'être travaillée
à nouveau : une structure à grains ultrafins est obtenue directement. Le procédé peut
s'appliquer à de nombreux matériaux métalliques. On utilise par exemple des métaux
purs ou des alliages métalliques, que ce soit des aciers, des alliages à base de titane,
d'aluminium, de magnésium ou de lithium.
[0015] Selon une variante du procédé, on exerce en outre une contre-pression dans la zone
d'extrusion. Cette contre-pression provoque une augmentation de la pression hydrostatique
au niveau de la zone de transition, ce qui assure plus sûrement que le matériau flue
vers la zone de sortie. Elle constitue un paramètre supplémentaire du procédé sur
lequel on peut agir pour mettre en oeuvre le procédé.
[0016] De manière préférentielle, la matrice est choisie pour que :

avec :
Ψ le rapport de réduction de section entre la section de sortie et la section d'entrée
;
α l'angle entre la direction d'introduction et la face de transition ;
t = a/h où 2a est la largeur de la zone de sortie et h est la différence de dimension entre la
zone d'entrée et la zone de sortie ; et
m est le coefficient de frottement entre le matériau et la face de transition.
[0017] Le procédé selon l'invention ne se produit pas si certaines conditions ne sont pas
remplies. En particulier, on pourrait obtenir une simple extrusion sans que le matériau
flue vers la zone de sortie si la pression hydrostatique n'est pas suffisante. Les
conditions exposées ci-dessus sont suffisantes pour garantir, même en l'absence de
contre-pression, que le matériau flue vers la zone de sortie pour former la tôle.
Cette relation montre les conditions sont plus propices si le rapport de réduction
Ψ diminue, si l'angle
α augmente ou si le rapport
t diminue.
[0018] Dans le cas de l'exercice d'une contre-pression, la matrice et la contre-pression
sont choisis pour que :

avec :
Ψ le rapport de réduction de section entre la section de sortie et la section d'entrée
;
α l'angle entre la direction d'introduction et la face de transition ;
t = a/h où 2a est la largeur de la zone de sortie et h est la différence de dimension entre la zone d'entrée et la zone de sortie ;
m est le coefficient de frottement entre le matériau et la face de transition ;
Pbp est la contre-pression ; et
k est la limite élastique en cisaillement du matériau.
[0019] Cette relation montre que l'exercice de la contre-pression facilite le procédé selon
l'invention en autorisant une large plage de choix pour les autres paramètres tels
que l'angle
α, le rapport t ou le rapport de réduction de section.
Brève description des figures
[0020] L'invention sera mieux comprise et d'autres particularités et avantages apparaîtront
à la lecture de la description qui va suivre, la description faisant référence aux
dessins annexés parmi lesquels :
- la figure 1 est une représentation schématique d'une matrice en coupe longitudinale
dans laquelle le procédé selon un premier mode de réalisation de l'invention est mis
en oeuvre ;
- la figure 2 est une vue similaire à la figure 1 pour un deuxième mode de réalisation
de l'invention ;
- la figure 3 est une vue d'un détail de la figure 1 commun également à la figure 2,
sans mise en oeuvre du procédé selon l'invention ;
- la figure 4 est une vue similaire à la figure 3 avec mise en oeuvre du procédé selon
l'invention ;
- les figures 5a et 5b sont des diagrammes représentant les conditions de fonctionnement
du procédé selon le premier mode de réalisation ;
- les figures 6a et 6b sont des diagrammes similaires à ceux des figures 5a et 5b selon
les conditions de fonctionnement du deuxième mode de réalisation du procédé ;
- la figure 7 est un diagramme montrant l'évolution d'une déformation de von Mises pour
la tôle ;
- la figure 8 est une photo de côté d'une barre de laquelle la tôle est fabriquée.
DESCRIPTION DÉTAILLÉE
[0021] Le procédé de formation de tôle selon l'invention est mis en oeuvre dans un outillage
comprenant une matrice 1 et un premier piston 2 permettant de pousser une barre 3
dans la matrice 1.
[0022] La barre 3 est réalisée dans un matériau métallique avec lequel on souhaite fabriquer
la tôle 4 après sa transformation de structure pour obtenir une structure à grains
ultrafins.
[0023] La matrice 1, montrée sur la figure 1 en coupe longitudinale selon une direction
d'introduction, comporte une zone d'entrée 11 apte à recevoir une barre 3 dudit matériau
selon la direction d'introduction F, une zone de transition 12, une zone de sortie
13 et une zone d'extrusion 14. La zone de sortie 13 est orientée dans une direction
de sortie latérale par rapport à la direction d'introduction F. La zone d'extrusion
14 est dans le prolongement de la zone d'entrée 11, mais avec une dimension, considérée
comme une hauteur, moindre du côté de la zone de sortie 13. Les hauteurs respectives
de la zone d'extrusion 14 et de la zone d'entrée 11 sont dans un rapport compris entre
0,75 et 1 exclu. Dans l'exemple considéré, la section est rectangulaire, les différentes
zones de la matrice 1 ayant une largeur égale dans la direction perpendiculaire au
plan de coupe.
[0024] La zone de transition 12 comporte une face de transition 120 en aval de la zone de
sortie 13 en effectuant la transition entre la zone d'entrée 11 et la zone d'extrusion
14. La face de transition 120 est inclinée d'un angle
α par rapport à la direction d'introduction F.
[0025] Le premier piston 2 a sensiblement la même section que la zone d'entrée 11 et est
apte à pousser la barre 3 dans la direction d'introduction F à travers la matrice
1. La barre 3 a également une section ajustée à celle de la zone d'entrée 11.
[0026] Selon le procédé de l'invention, on introduit la barre 3 par la zone d'entrée 11,
on actionne le premier piston 2, on extrude la barre 3 à travers la zone d'extrusion
14 en même temps qu'on extrait une tôle 4 par une partie du matériau de la barre 3
qui flue à travers la zone de sortie 13.
[0027] En forçant le passage de la barre 3 avec une force F, le premier piston 2 induit
le passage de l'épaisseur initiale H
0 de la barre 3 à une hauteur réduite de
H0-h. Dans la zone de transition 12, une grande pression est induite de telle sorte que
la partie externe de la barre 3 flue dans la zone de sortie 13 et forme la tôle 4
avec une épaisseur 2a. En fluant, la matière subit une déformation plastique sévère,
ce qui lui confère les propriétés de structure à grains ultrafins souhaitée.
[0028] Afin de déterminer les conditions dans lesquelles le procédé se produit, selon la
théorie des majorants, on considère deux cas : deux champs de vitesse admissible cinématiquement,
l'un qui simule l'extrusion directe à travers la matrice 1 (vers la zone d'extrusion
14), représenté sur la figure 3, l'autre avec la formation de la tôle 4, représenté
sur la figure 4.
[0029] Dans le cas de la figure 3, on établit que la pression appliquée par le premier piston
2
Pa peut s'exprimer par :

avec Ψ le rapport de réduction de section entre la section de sortie et la section
d'entrée ;
α l'angle entre la direction d'introduction F et la face de transition 120 ;
m est le coefficient de frottement entre le matériau et la face de transition 120 ;
k est la limite élastique en cisaillement du matériau ;
wfr est une puissance de frottement de la barre 3 contre la zone d'entrée 11 ; et
V0 est la vitesse de déplacement du premier piston 2.
[0030] Pour évaluer la pression
q en fonctionnement entre la barre 3 et la face de transition 120, on écrit l'équilibre
des forces exercées sur la barre 3, en omettant les forces de frottement :

[0031] En remplaçant
Pa, on obtient :

[0032] Pour les petits rapports de réduction de section (Ψ ≤ 0.2), on admet que :

d'où :

[0033] Cette relation montre que la diminution du rapport de section Ψ induit une augmentation
de la pression locale
q de manière hyperbolique. Ainsi, une petite réduction de section induit une forte
pression dans la zone de transition 12.
[0034] Afin de déterminer dans quelles conditions la formation de la tôle 4 peut avoir lieu,
on exprime la pression
Pb appliquée par le premier piston 2 pour le cas de la figure 4 :

où
t =
a/
h.
[0035] La formation de la tôle 4 a lieu à condition que :

[0036] En définissant
χ :

la formation de la tôle 4 a lieu à condition que
χ≤1, sinon c'est le scénario de la figure 3 qui se passe.
[0037] Pour calculer la déformation plastique lors de la formation de la tôle 4, en référence
à la figure 4, on considère une discontinuité du champ de vitesse le long d'une ligne
amont AB et d'une ligne aval AC, dans la vue en coupe longitudinale. Le point A est
le sommet de l'angle entre la zone d'entrée 11 et la zone de sortie 13, le point C
est le sommet de l'angle entre la zone de sortie 13 et la face de transition 120,
et le point A est sensiblement l'intersection entre l'axe de la zone de sortie 13
et la projection selon la direction d'introduction F du sommet de l'angle entre la
face de transition 120 et la zone d'extrusion 14. La déformation de cisaillement sur
ces lignes est définie par la formule :

où Δ
Vτ est le différentiel des composantes de vitesse tangentielle
Vn est la composante normale de vitesse sur la ligne de discontinuité. On en déduit
l'expression de la déformation totale lors de la formation de la tôle 4 :

[0038] En utilisant maintenant la formule de déformation équivalente de von Mises

on obtient :

[0039] L'évolution de
eu, la déformation équivalente dans le sens von Mises, en fonction de t est montrée
sur la figure 7. Cette figure montre que pour les tôles fines et les feuilles, la
déformation de von Mises est caractéristique des procédés de déformation plastique
sévère.
[0040] Les isolignes de
χ sont montrées sur les figures 5a et 5b, respectivement pour un angle
α de 30° et de 60°. Le domaine Da, Db dans lequel la formation de la tôle 4 a lieu
est représenté en grisé, au-dessus de la ligne
χ = 1
[0041] Selon un deuxième mode de réalisation, montré sur la figure 2, l'outillage est complété
par un deuxième piston 5 apte à exercer une contre-pression sur l'extrémité de la
barre 3 dans la zone d'extrusion 14.
[0042] On peut ainsi contrôler la pression hydrostatique lors de la formation de la tôle.
La force exercée par le deuxième piston est nommée
Fbp. De la même manière que précédemment, on établit que :

où
Pbp =
Fbp/
s, et
s est la section de la zone d'extrusion 14.
[0043] Le paramètre
χ' utilisant
Pbp a maintenant la forme :

[0044] Les isolignes de
χ' pour
Pbp = 2
k sont montrées sur les figures 6a et 6b, respectivement pour un angle
α de 30° et de 60°. Le domaine Da', Db' dans lequel la formation de la tôle 4 a lieu
est représenté en grisé, au-dessus de la ligne
χ' = 1.
[0045] Il en ressort clairement que l'application d'une contre-pression étend le domaine
Da', Db' dans lequel la formation de la tôle 4 a lieu par comparaison avec le cas
sans contre-pression.
Exemple 1
[0046] Par l'extrusion d'une barre 3 d'aluminium commercialement pur par le procédé inventé,
les résultats suivants ont été obtenus :
Matériau : Al1050
Dureté initiale: 44 HV
Taille de grain initiale: 200 µm
[0047] L'extrusion a été conduite à température ambiante selon le procédé de l'invention
tel que décrit précédemment, en utilisant une contre pression. On a ainsi obtenu une
tôle ayant les caractéristiques suivantes :
Epaisseur de la tôle produite : 0,7 mm
Dureté de la tôle : 108 HV
Déformation plastique estimée dans la tôle : y= 8.1
Taille de grain dans la tôle : 610 nm.
Exemple 2
[0048] L'extrusion d'aluminium commercialement pur a été conduite à température ambiante
selon le procédé de l'invention tel que décrit précédemment, avec une pression de
300 kN en utilisant une contre pression de 100 kN . On a ainsi obtenu une tôle d'épaisseur
1,5 mm, telle qu'illustrée par la photo de la figure 8.
Listes des références
[0049]
- 1. R. Song, D. Ponge, D. Raabe, J.G. Speer, D.K. Matlock, Conventional Rolling, Overview
of processing, microstructure and mechanical properties of ultra fine grained bcc
steels, Materials Science and Engineering A 441 (2006) 1-17.
- 2. Saito Y. et al. Ultra-Fine Grained Bulk Steel Production by Accumulative Roll-Bonding
(ARB) Process, Scripta Materialia, 40 (1999) 795-800.
- 3. US 7,191,630 B2
- 4. US 5,850,755 A.
- 5. L.S. Toth, R. Lapovok, A. Hasani, C.F. Gu, Non-equal channel angular pressing of aluminum
alloy, Scripta Materialia 61 (2009) 1121-1124.
- 6. US 7,152,448 B2 , publié le 26 décembre 2006
- 7. Y. Saito, H. Utsunomiya, H. Suzuki, T. Sakai, Improvement in the R-value of Aluminum
Strip by a Continuous Shear Déformation Process, Scripta Materialia 42 (2000) 1139-1144.
- 8. C.Y. Nam, J.H. Han, Y.H. Chung, M.C. Shin, Effect of Precipitates on Microstructural
Evolution of 7050 Al Alloy Sheet During Equal Channel Angular Rolling, Materials Science
and Engineering A 347 (2003) 253-257.
- 9. US 6,197,129 B1.
- 10. US 7,617,750 B2.
- 11. US 2013/0055783 A1
1. Procédé de formation d'une pièce dans lequel un matériau métallique subit une déformation
plastique sévère afin de lui conférer une structure à grains ultrafins, dans lequel
on introduit une barre (3) dudit matériau dans une matrice (1) selon une direction
d'introduction (F), la matrice (1) comportant une zone d'entrée (11) avec une section
en concordance avec la section de la barre (3) et une zone de sortie (13), la zone
de sortie (13) étant orientée dans une direction de sortie latérale par rapport à
la direction d'introduction (F) pour extraire le matériau transformé, le procédé étant
caractérisé en ce que, la matrice (1) comportant une zone d'extrusion (14) ayant la même direction que
la zone d'entrée (11) et de dimension moindre que la zone d'entrée (11) dans la direction
de sortie dans un rapport compris entre 0,75 et 1 exclu, une zone de transition (12)
comportant une face de transition (120) en aval de la zone de sortie (13) et effectuant
la transition entre la zone d'entrée (11) et la zone d'extrusion (14), on extrude
la barre (3) à travers la zone d'extrusion (14), la face de transition (120) créant
une pression pour pousser une partie du matériau à travers la zone de sortie (13)
et extraire le matériau transformé en forme de tôle (4).
2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel on exerce en outre une contre-pression
dans la zone d'extrusion (14).
3. Procédé selon la revendication 1, dans lequel la matrice (1) est choisie pour que
:

avec :
Ψ le rapport de réduction de section entre la section de sortie et la section d'entrée
;
α l'angle entre la direction d'introduction (F) et la face de transition (120) ;
t = a/h où 2a est la largeur de la zone de sortie (13) et h est la différence de dimension entre
la zone d'entrée (11) et la zone de sortie (13) ; et
m est le coefficient de frottement entre le matériau et la face de transition (120).
4. Procédé selon la revendication 2, dans lequel la matrice (1) et la contre-pression
sont choisis pour que :

avec :
Ψ le rapport de réduction de section entre la section de sortie et la section d'entrée
;
α l'angle entre la direction d'introduction (F) et la face de transition (120) ;
t = a/h où 2a est la largeur de la zone de sortie (13) et h est la différence de dimension entre la zone d'entrée (11) et la zone de sortie (13)
;
m est le coefficient de frottement entre le matériau et la face de transition (120)
;
Pbp est la contre-pression ; et
k est la limite élastique en cisaillement du matériau.
1. Verfahren zum Bilden eines Stücks, bei dem ein metallisches Material eine starke plastische
Verformung erfährt, um ihm eine Struktur mit ultrafeinen Körnern zu verleihen, wobei
eine Stange (3) des Materials in ein Gesenk (1) entlang einer Einführungsrichtung
(F) eingeführt wird, wobei das Gesenk (1) eine Eingangszone (11) mit einem Querschnitt
umfasst, der mit dem Querschnitt der Stange (3) übereinstimmt, und eine Ausgangszone
(13), wobei die Ausgangszone (13) in eine seitliche Ausgangsrichtung bezüglich der
Einführungsrichtung (F) ausgerichtet ist, um das umgewandelte Material herauszunehmen,
wobei das Verfahren dadurch gekennzeichnet ist, dass, da das Gesenk (1) eine Extrusionszone (14) umfasst, die dieselbe Richtung aufweist
wie die Eingangszone (11) und mit geringerem Maß als die Eingangszone (11) in die
Ausgangsrichtung in einem Verhältnis, das zwischen 0,75 und 1 ausgeschlossen liegt,
wobei eine Übergangszone (12) eine Übergangsfläche (120) stromabwärts der Ausgangszone
umfasst (13) und den Übergang zwischen der Eingangszone (11) und der Extrusionszone
(14) ausführt, die Stange (3) durch die Extrusionszone (14) extrudiert wird, wobei
die Übergangsfläche (120) einen Druck schafft, um einen Teil des Materials durch die
Ausgangszone (13) zu drücken, und das umgewandelte Material in Blechform (4) herauszunehmen.
2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei außerdem ein Gegendruck in der Extrusionszone (14)
ausgeübt wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Gesenk (1) ausgewählt ist, damit:

wobei:
ψ das Querschnittreduktionsverhältnis zwischen dem Ausgangsquerschnitt und dem Eingangsquerschnitt
ist;
α der Winkel zwischen der Einführungsrichtung (F) und der Übergangsfläche (120) ist;
t = a/h, wobei 2a die Breite der Ausgangszone (13) ist und h der Maßunterschied zwischen
der Eingangszone (11) und der Ausgangssonne (13) ist; und
m der Reibungskoeffizient zwischen dem Material und der Übergangsfläche (120) ist.
4. Verfahren nach Anspruch 2, wobei das Gesenk (1) und der Gegendruck ausgewählt sind,
damit:

wobei:
ψ das Querschnittreduktionsverhältnis zwischen dem Ausgangsquerschnitt und dem Eingangsquerschnitt
ist;
α der Winkel zwischen der Einführungsrichtung (F) und der Übergangsfläche (120) ist;
t = a/h, wobei 2a die Breite der Ausgangszone (13) ist und h der Maßunterschied zwischen
der Eingangszone (11) und der Ausgangssonne (13) ist; und
m der Reibungskoeffizient zwischen dem Material und der Übergangsfläche (120) ist;
Pbp der Gegendruck ist; und
k die Scherelastizitätsgrenze des Materials ist.
1. Method for forming a piece wherein a metallic material is subjected to a severe plastic
deformation so as to give same an ultrafine-grained structure, wherein a bar (3) of
said material is introduced into a die (1) along a feed direction (F), the die (1)
including an input zone (11) with a cross-section matching the cross-section of the
bar (3) and an output zone (13), the output zone (13) being oriented in a lateral
output direction with respect to the feed direction (F) to extract the processed material,
the method being characterised in that, the die (1) including an extrusion zone (14) having the same direction as the input
zone (11) and of lesser size than the input zone (11) in the output direction in a
ratio between 0.75 and 1 exclusive, a transition zone (12) including a transition
face (120) downstream from the output zone (13) and carrying out the transition between
the input zone (11) and the extrusion zone (14), the bar (3) is extruded through the
extrusion zone (14), the transition face (120) creating a pressure to push a portion
of the material through the output zone (13) and extract the processed material in
the form of a sheet (4).
2. Method according to claim 1, wherein a backpressure is further applied in the extrusion
zone (14).
3. Method according to claim 1, wherein the die (1) is chosen such that:

where:
Ψ is the cross-section reduction ratio between the output cross-section and the input
cross-section;
α is the angle between the feed direction (F) and the transition face (120);
t = a/h where 2a is the width of the output zone (13) and h is the difference in size
between the input zone (11) and the output zone (13); and
m is the friction coefficient between the material and the transition face (120).
4. Method according to claim 2, wherein the die (1) and the backpressure are chosen such
that:

where:
Ψ is the cross-section reduction ratio between the output cross-section and the input
cross-section;
α is the angle between the feed direction (F) and the transition face (120);
t = a/h where 2a is the width of the output zone (13) and h is the difference in size
between the input zone (11) and the output zone (13); and
m is the friction coefficient between the material and the transition face (120);
Pbp is the backpressure; and
k is the shear yield strength of the material.